Quais das aplicações abaixo são transformações lineares: T: R^3 R tal que T(x, y, z)=2 x-3 y+4 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber se a aplicação , definida por , é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas regras principais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) e , e para qualquer número real , a transformação deve satisfazer:

Passo 3

Vamos verificar se a aplicação cumpre essas duas propriedades.

Passo 4

Primeiro, a adição de vetores. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = 2(x1 + x2) - 3(y1 + y2) + 4(z1 + z2) e = 2x1 + 2x2 - 3y1 - 3y2 + 4z1 + 4z2 = (2x1 - 3y1 + 4z1) + (2x2 - 3y2 + 4z2) . Vamos calcular = T(u) + T(v) :
Distribuindo, temos:
Então, a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 5

Agora, a multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = 2(cx) - 3(cy) + 4(cz) = c(2x - 3y + 4z) = cT(u) um número real e . Vamos calcular :
Então, a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.

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