Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer saber se a aplicação
, definida por
, é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas regras principais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores
e
, e para qualquer número real
, a transformação deve satisfazer:
Passo 3
Vamos verificar se a aplicação
cumpre essas duas propriedades.
Passo 4
Primeiro, a adição de vetores. Seja
e
. Vamos calcular
:
Distribuindo, temos:
Então, a propriedade de adição é satisfeita.
Passo 5
Agora, a multiplicação por escalar. Seja
um número real e
. Vamos calcular
:
Então, a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.