Quais das aplicações abaixo são transformações lineares: tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber se a aplicação , definida por , é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas regras principais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores e , e para qualquer número real , a transformação deve satisfazer:

Passo 3

Vamos verificar se a aplicação cumpre essas duas propriedades.

Passo 4

Primeiro, a adição de vetores. Seja e . Vamos calcular :
Distribuindo, temos:
Então, a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 5

Agora, a multiplicação por escalar. Seja um número real e . Vamos calcular :
Então, a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a aplicação satisfaz tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.

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Considere os pontos e a reta . Seja a reta paralela à passando pelo ponto . Assinale a alternativa com os valores de e tais que o ponto pertença a reta .
a) .
b)
c) .
d) .
e) .
f)
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos abaixo e a distância entre eles.
e
Seja a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de: