Seja a transformação linear definida por: . Encontre uma base e a dimensão de:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
O objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo dessa transformação, ou seja, . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matematicamente, isso é definido por:
Passo 3
Para encontrar , precisamos resolver o sistema de equações resultante de . Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vamos utilizar a eliminação para simplificar.
Primeiro, observamos que todas as equações contêm a variável x. Podemos tentar expressar x em termos das outras variáveis a partir de uma das equações.
Da segunda equação:
x - 2z - t = 0 Rightarrow x = 2z + t
Agora, substituímos x = 2z + t nas outras equações.
Substituindo na primeira equação:
(2z + t) - y - z + t = 0 Rightarrow z + 2t - y = 0 Rightarrow y = z + 2t
Substituindo na terceira equação:
(2z + t) + y + 3z - t = 0 Rightarrow 2z + t + y + 3z - t = 0 Rightarrow 5z + y = 0
Mas já sabemos que y = z + 2t, então:
5z + (z + 2t) = 0 Rightarrow 6z + 2t = 0 Rightarrow 3z + t = 0 Rightarrow t = -3z
Agora, substituindo t = -3z na expressão para y:
y = z + 2(-3z) = z - 6z = -5z
E substituindo t = -3z na expressão para x:
x = 2z + (-3z) = -z
Passo 5
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de z. Podemos introduzir z como um parâmetro livre, digamos z = lambda, onde lambda é um número real qualquer.
Então, as soluções são:
x = -lambda y = -5lambda z = lambda t = -3lambda
Podemos escrever o vetor solução como:
(x, y, z, t) = lambda(-1, -5, 1, -3)
Isso significa que todos os vetores no núcleo de T são múltiplos escalares do vetor (-1, -5, 1, -3).
Resposta
Uma base para Ker(T) é , (-1, -5, 1, -3) , e a dimensão do núcleo é 1.