Seja a transformação linear definida por: . Encontre uma base e a dimensão de:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
O objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo dessa transformação, ou seja, . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matematicamente, isso é definido por:
Passo 3
Para encontrar , precisamos resolver o sistema de equações resultante de . Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vamos utilizar a eliminação para simplificar.
Primeiro, observamos que todas as equações contêm a variável . Podemos tentar expressar em termos das outras variáveis a partir de uma das equações.
Da segunda equação:
Agora, substituímos nas outras equações.
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Mas já sabemos que , então:
Agora, substituindo na expressão para :
E substituindo na expressão para :
Passo 5
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de . Podemos introduzir como um parâmetro livre, digamos , onde é um número real qualquer.
Então, as soluções são:
Podemos escrever o vetor solução como:
Isso significa que todos os vetores no núcleo de são múltiplos escalares do vetor .