Seja a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
O objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo dessa transformação, ou seja, . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matematicamente, isso é definido por:

Passo 3

Para encontrar , precisamos resolver o sistema de equações resultante de . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vamos utilizar a eliminação para simplificar.
Primeiro, observamos que todas as equações contêm a variável . Podemos tentar expressar em termos das outras variáveis a partir de uma das equações.
Da segunda equação:
Agora, substituímos nas outras equações.
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Mas já sabemos que , então:
Agora, substituindo na expressão para :
E substituindo na expressão para :

Passo 5

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de . Podemos introduzir como um parâmetro livre, digamos , onde é um número real qualquer.
Então, as soluções são:
Podemos escrever o vetor solução como:
Isso significa que todos os vetores no núcleo de são múltiplos escalares do vetor .

Resposta

Uma base para é e a dimensão do núcleo é .

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Quais das aplicações abaixo são transformações lineares: tal que
Considere os pontos e a reta . Seja a reta paralela à passando pelo ponto . Assinale a alternativa com os valores de e tais que o ponto pertença a reta .
a) .
b)
c) .
d) .
e) .
f)
Calcule a distância entre os pontos: