Seja T: R^4 Re^3 a transformação linear definida por:
T(x, y, z, t)=(x-y-z+t, x-2 z-t, x+y+3 z-t). Encontre uma base e a dimensão de: Ker(T)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^4 Re^3 definida por:
T(x, y, z, t) = (x - y - z + t, x - 2z - t, x + y + 3z - t)
O objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo dessa transformação, ou seja, Ker(T). Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

O núcleo de uma transformação linear T, denotado por Ker(T), é o conjunto de todos os vetores v em R^4 que são mapeados para o vetor zero em Re^3. Matematicamente, isso é definido por:
Ker(T) = (x, y, z, t) in R^4 | T(x, y, z, t) = (0, 0, 0)

Passo 3

Para encontrar Ker(T), precisamos resolver o sistema de equações resultante de T(x, y, z, t) = (0, 0, 0). Ou seja:
x - y - z + t = 0 x - 2z - t = 0 x + y + 3z - t = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vamos utilizar a eliminação para simplificar.
Primeiro, observamos que todas as equações contêm a variável x. Podemos tentar expressar x em termos das outras variáveis a partir de uma das equações.
Da segunda equação:
x - 2z - t = 0 Rightarrow x = 2z + t
Agora, substituímos x = 2z + t nas outras equações.
Substituindo na primeira equação:
(2z + t) - y - z + t = 0 Rightarrow z + 2t - y = 0 Rightarrow y = z + 2t
Substituindo na terceira equação:
(2z + t) + y + 3z - t = 0 Rightarrow 2z + t + y + 3z - t = 0 Rightarrow 5z + y = 0
Mas já sabemos que y = z + 2t, então:
5z + (z + 2t) = 0 Rightarrow 6z + 2t = 0 Rightarrow 3z + t = 0 Rightarrow t = -3z
Agora, substituindo t = -3z na expressão para y:
y = z + 2(-3z) = z - 6z = -5z
E substituindo t = -3z na expressão para x:
x = 2z + (-3z) = -z

Passo 5

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de z. Podemos introduzir z como um parâmetro livre, digamos z = lambda, onde lambda é um número real qualquer.
Então, as soluções são:
x = -lambda y = -5lambda z = lambda t = -3lambda
Podemos escrever o vetor solução como:
(x, y, z, t) = lambda(-1, -5, 1, -3)
Isso significa que todos os vetores no núcleo de T são múltiplos escalares do vetor (-1, -5, 1, -3).

Resposta

Uma base para Ker(T) é , (-1, -5, 1, -3) , e a dimensão do núcleo é 1.

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