Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral do plano que passa pelos três pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e o produto vetorial, que vão ajudar a determinar o vetor normal ao plano. Com o vetor normal e um dos pontos, conseguimos montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal e um dos pontos, por exemplo , podemos montar a equação geral do plano. A equação geral do plano é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas de um ponto no plano. Substituindo os valores:
Expandindo:
Simplificando:
Podemos simplificar mais dividindo todos os termos por 2:

Resposta

A equação geral do plano que passa pelos pontos , e é:

Exercícios relacionados

Calcule a distância entre os pontos:
Encontre a equação reduzida da parábola com reta focal paralela ao eixo que passa pelos pontos e .
Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
e