Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos P(1,3,2), Q(3,-1,6) e R(5,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral do plano que passa pelos três pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e o produto vetorial, que vão ajudar a determinar o vetor normal ao plano. Com o vetor normal e um dos pontos, conseguimos montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
  • Vetor
  • Vetor

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial entre a times b = ( a2b3 - a3b2,; a3b1 - a1b3,; a1b2 - a2b1 ) e PQ times PR = ( (-4)(-2) - (4)(-1),; (4)(4) - (2)(-2),; (2)(-1) - (-4)(4) ) = (8 + 4,; 16 + 4,; -2 + 16) = (12,; 20,; 14) . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um dos pontos, por exemplo 12(x - 1) + 20(y - 3) + 14(z - 2) = 0 , podemos montar a equação geral do plano. A equação geral do plano é dada por:
12x - 12 + 20y - 60 + 14z - 28 = 0
Onde 12x + 20y + 14z - 100 = 0 são as componentes do vetor normal e 6x + 10y + 7z - 50 = 0 são as coordenadas de um ponto no plano. Substituindo os valores:
Expandindo:
Simplificando:
Podemos simplificar mais dividindo todos os termos por 2:

Resposta

A equação geral do plano que passa pelos pontos 6x + 10y + 7z - 50 = 0 , e é:

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