Encontre a equação do plano definido pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que é definido por duas retas dadas pelas equações e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar trabalhar com vetores, equações paramétricas das retas e entender como encontrar um plano a partir de duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma mais fácil de trabalhar, usando a forma paramétrica. A equação geral das retas pode ser expressa como , onde é o parâmetro.
Para a primeira reta:
Isso dá:
Assim, podemos escrever a primeira reta em forma paramétrica:
Para a segunda reta:
Isso dá:
E a segunda reta em forma paramétrica:
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores das duas retas, que são os coeficientes de e nas equações paramétricas.
Para a primeira reta, o vetor diretor é:
Para a segunda reta, o vetor diretor é:
Como as duas retas estão no mesmo plano, esses dois vetores estarão contidos no plano.
Passo 4
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores diretores e . A maneira de encontrar esse vetor normal é calculando o produto vetorial entre e .
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, o vetor normal é:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal e sabemos que o plano passa por um ponto de uma das retas (vamos pegar quando na primeira reta, que dá o ponto ), podemos usar a equação geral do plano:
Como o ponto é , a equação fica:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 30 para eliminar os denominadores: