Encontre a equação do plano definido pelas retas 2 x / 3=y / 2=3 z / 2 e 2 x=y / 2=5 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que é definido por duas retas dadas pelas equações 2x3 = y2 = 3z2 e 2x1 = y2 = 5z1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar trabalhar com vetores, equações paramétricas das retas e entender como encontrar um plano a partir de duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma mais fácil de trabalhar, usando a forma paramétrica. A equação geral das retas pode ser expressa como xa = yb = zc = t, onde t é o parâmetro.
Para a primeira reta: 2x3 = y2 = 3z2 = t
Isso dá:
x = 32t, y = 2t, z = 23t
Assim, podemos escrever a primeira reta em forma paramétrica:
r1(t) = ( 32t, 2t, 23t )
Para a segunda reta: 2x1 = y2 = 5z1 = s
Isso dá:
x = 12s, y = 2s, z = 15s
E a segunda reta em forma paramétrica:
r2(s) = ( 12s, 2s, 15s )

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores das duas retas, que são os coeficientes de t e s nas equações paramétricas.
Para a primeira reta, o vetor diretor é:
u = ( 32, 2, 23 )
Para a segunda reta, o vetor diretor é:
v = ( 12, 2, 15 )
Como as duas retas estão no mesmo plano, esses dois vetores estarão contidos no plano.

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores diretores u e v. A maneira de encontrar esse vetor normal é calculando o produto vetorial entre u e v.
Vamos calcular n = u times v:
n = i & j & k 32 & 2 & 23 12 & 2 & 15
Calculando o determinante:
n = i (2 cdot 15 - 2 cdot 23) - j (32 cdot 15 - 12 cdot 23) + k (32 cdot 2 - 12 cdot 2)
Simplificando:
n = i (25 - 43) - j (310 - 13) + k (3 - 1)
n = i (-1415) - j (-130) + k (2)
Então, o vetor normal é:
n = ( -1415, 130, 2 )

Passo 5

Agora que temos o vetor normal n e sabemos que o plano passa por um ponto de uma das retas (vamos pegar quando t=0 na primeira reta, que dá o ponto (0,0,0)), podemos usar a equação geral do plano:
nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0
Como o ponto é (0,0,0), a equação fica:
-1415x + 130y + 2z = 0
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 30 para eliminar os denominadores:
-28x + y + 60z = 0
Podemos escrever a equação do plano como:
28x - y - 60z = 0

Resposta

A equação do plano é 28x - y - 60z = 0.

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