Encontre a equação do plano definido pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que é definido por duas retas dadas pelas equações e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar trabalhar com vetores, equações paramétricas das retas e entender como encontrar um plano a partir de duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma mais fácil de trabalhar, usando a forma paramétrica. A equação geral das retas pode ser expressa como , onde é o parâmetro.
Para a primeira reta:
Isso dá:
Assim, podemos escrever a primeira reta em forma paramétrica:
Para a segunda reta:
Isso dá:
E a segunda reta em forma paramétrica:
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores das duas retas, que são os coeficientes de e nas equações paramétricas.
Para a primeira reta, o vetor diretor é:
Para a segunda reta, o vetor diretor é:
Como as duas retas estão no mesmo plano, esses dois vetores estarão contidos no plano.
Passo 4
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores diretores e . A maneira de encontrar esse vetor normal é calculando o produto vetorial entre e .
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
n = i (2 cdot 15 - 2 cdot 23) - j (32 cdot 15 - 12 cdot 23) + k (32 cdot 2 - 12 cdot 2)
Simplificando:
n = i (25 - 43) - j (310 - 13) + k (3 - 1)
n = i (-1415) - j (-130) + k (2)
Então, o vetor normal é:
n = ( -1415, 130, 2 )
Passo 5
Agora que temos o vetor normal n e sabemos que o plano passa por um ponto de uma das retas (vamos pegar quando t=0 na primeira reta, que dá o ponto (0,0,0)), podemos usar a equação geral do plano:
nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0
Como o ponto é (0,0,0), a equação fica:
-1415x + 130y + 2z = 0
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 30 para eliminar os denominadores: