Construa os gráficos das funções
Mostre que
pode ser estendida a
de forma a ser contínua nesse ponto, o mesmo não ocorrendo com
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para construirmos os gráficos das funções e para
. Além disso, precisamos mostrar que a função
pode ser estendida para
de maneira que seja contínua nesse ponto, enquanto isso não é possível para a função
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções dadas:
- : Aqui, temos o seno de
dividido por . - : Nesta função, o seno de
é dividido pelo valor absoluto de .
Ambas as funções estão definidas para
. Nosso objetivo é analisar o comportamento dessas funções perto de
.
Passo 3
Vamos começar construindo o gráfico de . Para isso, observamos que conforme
se aproxima de 0, o comportamento da função depende do limite de quando
tende a 0.
Passo 4
Calculando o limite:
Este é um limite fundamental da matemática, cujo valor é conhecido:
Isso significa que, embora
não esteja definida em
, podemos definir
para tornar a função contínua nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos analisar a continuidade de
em
. Como o limite de
quando
tende a 0 é 1, e se definirmos
, então:
Isso satisfaz a definição de continuidade, ou seja,
é contínua em
quando estendida dessa forma.
Passo 6
Vamos agora construir o gráfico de . Note que
para
e
para
. Portanto, podemos reescrever
da seguinte maneira:
Simplificando:
Passo 7
Vamos analisar o limite de
quando
tende a 0 pela direita e pela esquerda.
Para
:
Para
:
Passo 8
Como os limites pela direita e pela esquerda em
são diferentes (
e
), o limite geral de
quando
tende a 0 não existe. Portanto, não é possível definir
de forma que a função seja contínua em
.
Resposta
A função pode ser estendida para
definindo-se
, tornando-a contínua nesse ponto. Já a função não pode ser estendida para
de forma contínua, pois os limites laterais são diferentes.
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