Construa os gráficos das funções
Mostre que pode ser estendida a de forma a ser contínua nesse ponto, o mesmo não ocorrendo com .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para construirmos os gráficos das funções e para . Além disso, precisamos mostrar que a função pode ser estendida para de maneira que seja contínua nesse ponto, enquanto isso não é possível para a função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções dadas:
  • : Aqui, temos o seno de dividido por .
  • : Nesta função, o seno de é dividido pelo valor absoluto de .
Ambas as funções estão definidas para . Nosso objetivo é analisar o comportamento dessas funções perto de .

Passo 3

Vamos começar construindo o gráfico de . Para isso, observamos que conforme se aproxima de 0, o comportamento da função depende do limite de quando tende a 0.

Passo 4

Calculando o limite:
Este é um limite fundamental da matemática, cujo valor é conhecido:
Isso significa que, embora não esteja definida em , podemos definir para tornar a função contínua nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos analisar a continuidade de em . Como o limite de quando tende a 0 é 1, e se definirmos , então:
Isso satisfaz a definição de continuidade, ou seja, é contínua em quando estendida dessa forma.

Passo 6

Vamos agora construir o gráfico de . Note que para e para . Portanto, podemos reescrever da seguinte maneira:
Simplificando:

Passo 7

Vamos analisar o limite de quando tende a 0 pela direita e pela esquerda.
Para :
Para :

Passo 8

Como os limites pela direita e pela esquerda em são diferentes ( e ), o limite geral de quando tende a 0 não existe. Portanto, não é possível definir de forma que a função seja contínua em .

Resposta

A função pode ser estendida para definindo-se , tornando-a contínua nesse ponto. Já a função não pode ser estendida para de forma contínua, pois os limites laterais são diferentes.

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Ache a reta tangente à curva no ponto de abscissa 1 . Encontre outro ponto onde essa tangente corta a curva.
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