Ache rot F e div F para o campo vetorial dado: F(x, y, z) = (y^2 + z^2) i + (x e^y cos(z)) j - (x e^y cos(z)) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar o rotacional (rot F) e a divergência (div F) para o campo vetorial dado:
Pra isso, vamos usar as definições de divergência e rotacional, que são ferramentas essenciais em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência (div F) mede a “taxa de expansão” do campo em cada ponto. Matematicamente, para um campo , a divergência é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Porque não depende de .
Calculando :
Aqui, a derivada de em relação a é , e é tratado como constante.
Calculando :
A derivada de em relação a é , e multiplicamos pelo resto.

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para achar a divergência:

Passo 5

Vamos agora calcular o rotacional (rot F) do campo vetorial. O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial de girar ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 6

Calculando :
A derivada de em relação a é .
Calculando :
A derivada de em relação a é .

Passo 7

Calculando :
E :

Passo 8

Calculando :
E :

Passo 9

Agora, montamos o rotacional substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Resposta

Então, a divergência e o rotacional do campo vetorial são:

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