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e div
para o campo vetorial dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar o rotacional (rot F) e a divergência (div F) para o campo vetorial dado:
Pra isso, vamos usar as definições de divergência e rotacional, que são ferramentas essenciais em cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência (div F) mede a “taxa de expansão” do campo em cada ponto. Matematicamente, para um campo
, a divergência é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Porque
não depende de
.
Calculando
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, e
é tratado como constante.
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pelo resto.
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas para achar a divergência:
Passo 5
Vamos agora calcular o rotacional (rot F) do campo vetorial. O rotacional nos mostra a tendência do campo vetorial de girar ao redor de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 6
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é
.
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é
.
Passo 7
Calculando
:
E
:
Passo 8
Calculando
:
E
:
Passo 9
Agora, montamos o rotacional substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Resposta
Então, a divergência e o rotacional do campo vetorial
são: