Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x, y) = 2xy i + (x^2 + y^2) j ; C é o segmento de reta da origem ao ponto 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre trabalho realizado por um campo de forças. A gente precisa calcular o trabalho total que a força faz sobre uma partícula que se movimenta ao longo do segmento de reta da origem até o ponto 1,1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. Trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha da força ao longo dessa curva. A fórmula é:
Aqui, F é o campo de forças e é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva C.

Passo 3

Como a curva C é um segmento de reta da origem (0,0) até o ponto 1,1, podemos parametrizá-la de forma simples. Vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde:
Então, o vetor posição r(t) é:
Derivando em relação a t, encontramos o vetor deslocamento :

Passo 4

Agora, substituímos x(t) e y(t) na força :

Passo 5

Calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1 para encontrar o trabalho total:

Passo 7

Calculando a integral:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo do segmento de reta da origem ao ponto 1,1 é 4/3 joules.

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