Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva
. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons:
é o segmento de reta da origem ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre trabalho realizado por um campo de forças. A gente precisa calcular o trabalho total que a força
faz sobre uma partícula que se movimenta ao longo do segmento de reta da origem até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. Trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha da força ao longo dessa curva. A fórmula é:
Aqui,
é o campo de forças e
é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva
.
Passo 3
Como a curva
é um segmento de reta da origem
até o ponto
, podemos parametrizá-la de forma simples. Vamos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde:
Então, o vetor posição
é:
Derivando em relação a
, encontramos o vetor deslocamento
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na força
:
Passo 5
Calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
para encontrar o trabalho total:
Passo 7
Calculando a integral:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo do segmento de reta da origem ao ponto
é
joules.