Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x,y)=-x^2*y*i+2*y*j ; C é o segmento de reta do ponto (a, 0) a (0, a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o trabalho total realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de um arco de curva . O campo de forças é dado por:
E o caminho é o segmento de reta que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especialmente sobre trabalho realizado por um campo de forças.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é uma reta que vai de até , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para descrever todos os pontos ao longo dessa reta. A parametrização fica assim:
onde vai de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor posição e calcular sua derivada em relação a para encontrar :

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na força :
Simplificando:

Passo 5

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho é dado pela integral de linha:
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver essa integral separadamente:
Primeiro, calculamos :
Avaliado de 0 a 1:
Agora, calculamos :
Então, substituindo de volta:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças sobre a partícula ao percorrer o arco é:

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