Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva . Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: é o segmento de reta do ponto a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o trabalho total realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de um arco de curva . O campo de forças é dado por:
E o caminho é o segmento de reta que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especialmente sobre trabalho realizado por um campo de forças.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é uma reta que vai de até , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para descrever todos os pontos ao longo dessa reta. A parametrização fica assim:
onde vai de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor posição e calcular sua derivada em relação a para encontrar :
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização na força :
Simplificando:
Passo 5
O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho é dado pela integral de linha:
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver essa integral separadamente:
Primeiro, calculamos :
Avaliado de 0 a 1:
Agora, calculamos :
Então, substituindo de volta:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças sobre a partícula ao percorrer o arco é: