Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x, y, z) = z^2 i + y^2 j + x z k ; C é o segmento de reta da origem ao ponto (4, 0, 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho total feito por um campo de forças quando uma partícula se move ao longo de uma curva . A curva é o segmento de reta que vai da origem até o ponto . Para isso, vamos precisar das fórmulas de cálculo de trabalho em campos de força e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta entre e , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1:

Passo 3

Agora, precisamos expressar o campo de forças ao longo da curva parametrizada. Substituindo , e na expressão de :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada da parametrização em relação a , que nos dá o vetor tangente :
O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva é dado pela integral do produto escalar de com :
Calculando o produto escalar:

Passo 5

Agora, vamos integrar de a :

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo da curva é igual a .

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