Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva
. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons:
é o segmento de reta da origem ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho total feito por um campo de forças
quando uma partícula se move ao longo de uma curva
. A curva
é o segmento de reta que vai da origem
até o ponto
. Para isso, vamos precisar das fórmulas de cálculo de trabalho em campos de força e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como é um segmento de reta entre
e
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Passo 3
Agora, precisamos expressar o campo de forças
ao longo da curva parametrizada. Substituindo
,
e
na expressão de
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada da parametrização
em relação a
, que nos dá o vetor tangente
:
O trabalho
realizado pelo campo de forças ao longo da curva é dado pela integral do produto escalar de
com
:
Calculando o produto escalar:
Passo 5
Agora, vamos integrar
de
a
:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo da curva
é igual a
.