Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva
. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons:
é o arco da parábola
, do ponto
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar o trabalho total feito por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva específica. Aqui, o campo de forças é dado por
e a curva
é a parábola
, indo do ponto
até
. Para resolver isso, vamos precisar calcular uma integral de linha, que basicamente soma todo o trabalho feito ao longo do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como a parábola é dada por
e
vai de 1 até 2, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, temos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor diferencial
:
Passo 3
Vamos substituir as coordenadas da curva na força
. Como
, ficamos com:
Agora, o trabalho
é a integral de
ao longo de
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado de 1 a 2:
Substituindo os limites:
Resposta
O trabalho total realizado é
joules.