Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x, y) = (y - x) i + (x^2 y) j ; C é o arco da parábola y = x^2, do ponto 1,1 a 2,4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa encontrar o trabalho total feito por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva específica. Aqui, o campo de forças é dado por e a curva C é a parábola , indo do ponto 1,1 até 2,4. Para resolver isso, vamos precisar calcular uma integral de linha, que basicamente soma todo o trabalho feito ao longo do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como a parábola é dada por e x vai de 1 até 2, podemos usar x como nosso parâmetro. Então, temos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a x, que nos dá o vetor diferencial :

Passo 3

Vamos substituir as coordenadas da curva na força . Como , ficamos com:
Agora, o trabalho W é a integral de ao longo de C:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado de 1 a 2:
Substituindo os limites:

Resposta

O trabalho total realizado é joules.

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