Determine o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
, dada por
Além disso, esboce o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
. Além disso, vamos esboçar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, como domínio e imagem, além de entender o que são curvas de nível.
Passo 2
Dominio: O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso de
, a função seno está definida para todos os números reais, então
também está definido para qualquer
e
. Portanto, o domínio é todo o plano
.
Passo 3
Imagem: A imagem da função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Sabemos que a função seno,
, tem como valores possíveis todo o intervalo
. Como
, os produtos
podem ser qualquer número real, mas o seno desses produtos sempre estará entre
e
. Então, a imagem de
é
.
Passo 4
Curvas de nível: As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor
fixo, temos:
Para resolver essa equação, precisamos que
, já que a imagem da função é
. Usando a função inversa do seno, temos:
Essas equações representam uma hipérbole para cada valor de
, considerando os diferentes intervalos de
.
Passo 5
Esboços:
- Domínio: Como o domínio é todo o plano, o esboço é simplesmente o plano
. - Imagem: A imagem é o intervalo
, que pode ser representado por uma linha no eixo dos valores de . - Curvas de nível: Para cada
entre e , desenharíamos hipérboles no plano correspondentes às soluções das equações e . - Gráfico de
: O gráfico será uma superfície ondulada refletindo os valores do seno, com as ondulações mais intensas conforme os produtos aumentam ou diminuem.
Resposta
Resumindo, para a função
:
- Domínio: Todos os pares
. - Imagem: O intervalo
. - Curvas de nível: Hipérboles dadas por
e para cada e .
Além disso, os esboços do domínio, imagem, curvas de nível e gráfico de
representam respectivamente o plano completo, o intervalo
, as hipérboles mencionadas e uma superfície ondulada refletindo os valores da função seno.