Determine o domínio, a imagem e as curvas de nível da função f, dada por
f(x, y) = sen(x y)
Além disso, esboce o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função . Além disso, vamos esboçar o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, como domínio e imagem, além de entender o que são curvas de nível.

Passo 2

Dominio: O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. No caso de , a função seno está definida para todos os números reais, então também está definido para qualquer e . Portanto, o domínio é todo o plano .

Passo 3

Imagem: A imagem da função é o conjunto de todos os valores que ela pode assumir. Sabemos que a função seno, , tem como valores possíveis todo o intervalo . Como , os produtos podem ser qualquer número real, mas o seno desses produtos sempre estará entre e . Então, a imagem de é .

Passo 4

Curvas de nível: As curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor fixo, temos:
Para resolver essa equação, precisamos que , já que a imagem da função é . Usando a função inversa do seno, temos:
Essas equações representam uma hipérbole para cada valor de , considerando os diferentes intervalos de .

Passo 5

Esboços:
  1. Domínio: Como o domínio é todo o plano, o esboço é simplesmente o plano .
  2. Imagem: A imagem é o intervalo , que pode ser representado por uma linha no eixo dos valores de .
  3. Curvas de nível: Para cada entre e , desenharíamos hipérboles no plano correspondentes às soluções das equações e .
  4. Gráfico de : O gráfico será uma superfície ondulada refletindo os valores do seno, com as ondulações mais intensas conforme os produtos aumentam ou diminuem.

Resposta

Resumindo, para a função :
  • Domínio: Todos os pares .
  • Imagem: O intervalo .
  • Curvas de nível: Hipérboles dadas por e para cada e .
Além disso, os esboços do domínio, imagem, curvas de nível e gráfico de representam respectivamente o plano completo, o intervalo , as hipérboles mencionadas e uma superfície ondulada refletindo os valores da função seno.

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