Ache rot F e div F para o campo vetorial dado: F(x, y) = cos(x) i - sen(y) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente achar o rotacional (também conhecido como curl) e a divergência do campo vetorial dado: .
Para resolver isso, precisamos saber um pouquinho sobre campos vetoriais e como calcular o rotacional e a divergência. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência é uma operação que nos dá uma medida de quão “espraial” ou “compressiva” é o campo vetorial. Matematicamente, para um campo , a divergência é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para obter a divergência:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o rotacional (ou curl) de . No caso de campos vetoriais em 2D, o rotacional é um escalar dado por:

Passo 6

Vamos calcular essas derivadas parciais:

Passo 7

Agora, subtraímos as derivadas para obter o rotacional:

Resposta

O rotacional de é zero e a divergência de é . Ou seja,

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