Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva
. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o trabalho total realizado por um campo de forças dado pela função
sobre uma partícula que segue um caminho definido por
, onde
varia de 0 a 2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha na matéria de Cálculo Vetorial. Precisamos calcular a integral de
ao longo do caminho
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização do caminho
, que já está dada como
. Isso significa que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Calculando cada componente:
Então,
.
Passo 4
A integral de linha para o trabalho �� dada por:
Precisamos substituir
e
nessa expressão.
Passo 5
Substituindo
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Passo 8
Vamos resolver a integral termo a termo:
-
-
: Fazendo , , então a integral fica -
: Fazendo , , então a integral fica
Passo 9
Portanto, o trabalho
é:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças sobre a partícula é
joules.