Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x, y, z)=e^x i+e^y j+e^z k ; C: R(t)=t i+t^2 j+t^3 k, 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o trabalho total realizado por um campo de forças dado pela função sobre uma partícula que segue um caminho definido por , onde varia de 0 a 2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha na matéria de Cálculo Vetorial. Precisamos calcular a integral de ao longo do caminho .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização do caminho , que já está dada como . Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Calculando cada componente:
Então, .

Passo 4

A integral de linha para o trabalho �� dada por:
W = integralC F cdot dr = integrala^b F(R(t)) cdot R'(t) , dt
Precisamos substituir e nessa expressão.

Passo 5

Substituindo F(R(t)) = e^x(t) i + e^y(t) j + e^z(t) k = e^t i + e^t^2 j + e^t^3 k :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar e^t cdot 1 + e^t^2 cdot 2t + e^t^3 cdot 3t^2 = e^t + 2t e^t^2 + 3t^2 e^t^3 :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de W = integral0^2 ( e^t + 2t e^t^2 + 3t^2 e^t^3 ) dt a :

Passo 8

Vamos resolver a integral termo a termo:
  1. : Fazendo , , então a integral fica
  2. : Fazendo , , então a integral fica

Passo 9

Portanto, o trabalho W = [ e^t + e^t^2 + e^t^3 ]0^2 = ( e^2 + e^4 + e^8 ) - ( e^0 + e^0 + e^0 ) = e^2 + e^4 + e^8 - 3 é:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças sobre a partícula é joules.

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