Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o rotacional (também conhecido como rot) e a divergência (ou div) do campo vetorial dado por:
Para resolver isso, precisamos conhecer as fórmulas para calcular o rotacional e a divergência de um campo vetorial. Vamos usar cálculo vetorial para isso!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional da função . O rotacional de , denotado por , é dado pela seguinte determinante:
Onde , , e .
Passo 3
Vamos calcular cada componente do determinante:
Componente :
Calculando as derivadas:
Então, a componente é:
Componente :
Calculando as derivadas:
Então, a componente é:
Componente :
Calculando as derivadas:
Então, a componente é:
Passo 4
Agora, juntando todas as componentes, temos:
Então, o rotacional de é o vetor nulo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a divergência de , denotada por . A divergência é dada por: