Ache rot F e div F para o campo vetorial dado: F(x, y, z) = (x * z^2) * i + y^2 * j + (x^2 * z) * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o rotacional (também conhecido como rot) e a divergência (ou div) do campo vetorial dado por:
Para resolver isso, precisamos conhecer as fórmulas para calcular o rotacional e a divergência de um campo vetorial. Vamos usar cálculo vetorial para isso!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional da função . O rotacional de , denotado por , é dado pela seguinte determinante:
Onde , , e .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do determinante:
  1. Componente :
Calculando as derivadas:
Então, a componente é:
  1. Componente :
Calculando as derivadas:
Então, a componente é:
  1. Componente :
Calculando as derivadas:
Então, a componente é:

Passo 4

Agora, juntando todas as componentes, temos:
Então, o rotacional de é o vetor nulo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a divergência de , denotada por . A divergência é dada por:
Vamos calcular cada termo:

Passo 6

Somando todos os termos:

Resposta

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