Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial: F(x, y) = (2xy^2 - y^3) i + (2x^2y - 3xy^2 + 2) j;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar que o campo vetorial F(x, y) = (2xy^2 - y^3) i + (2x^2y - 3xy^2 + 2) j é conservativo e depois encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, tipo verificar o rotacional do campo e integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos checar se o campo é realmente conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial é conservativo se o rotacional dele for zero. Ou seja, vamos calcular o rotacional de F e ver se ele dá zero.
O rotacional em 2D é dado por:

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Primeiro, :
Depois, :

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional:
Como o rotacional é zero, isso confirma que o campo vetorial é conservativo.

Passo 5

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial f(x, y) tal que:
Isso nos dá as equações:

Passo 6

Vamos integrar em relação a x para encontrar f(x, y):
Aqui, g(y) é uma função que depende só de y, já que ao derivar em relação a x, ela desaparece.

Passo 7

Agora, vamos derivar f(x, y) com relação a y e igualar à segunda equação:
Comparando os termos, vemos que:
Onde C é uma constante.

Passo 8

Assim, a função potencial completa é:

Resposta

O campo vetorial é conservativo e uma função potencial é:
onde C é uma constante.

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