Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai provar que o campo vetorial
é conservativo e depois encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, tipo verificar o rotacional do campo e integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos checar se o campo é realmente conservativo. Em duas dimensões, um campo vetorial é conservativo se o rotacional dele for zero. Ou seja, vamos calcular o rotacional de
e ver se ele dá zero.
O rotacional em 2D é dado por:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Primeiro,
:
Depois,
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional:
Como o rotacional é zero, isso confirma que o campo vetorial é conservativo.
Passo 5
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Isso nos dá as equações:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que ao derivar em relação a
, ela desaparece.
Passo 7
Agora, vamos derivar
com relação a
e igualar à segunda equação:
Comparando os termos, vemos que:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Assim, a função potencial completa é:
Resposta
O campo vetorial é conservativo e uma função potencial é:
onde
é uma constante.