Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial: F(x, y, z) = (x^2 - y) i + (3z - x) j + (z + 3y) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o campo vetorial é conservativo e, além disso, encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre campos vetoriais conservativos, o conceito de função potencial e como calcular o rotacional de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar , ou seja, . Uma condição necessária para isso é que o rotacional de seja zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:

Passo 4

Calculando o determinante, temos:

Passo 5

Vamos derivar cada termo:
  • Para :
Portanto:
  • Para :
Portanto:
  • Para :
Portanto:

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Como o rotacional de é zero, o campo é conservativo.

Passo 7

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 8

Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 9

Agora, vamos usar a segunda equação:
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 10

Agora, vamos usar a terceira equação:
Isso implica que:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Substituindo na expressão de :
Podemos ignorar a constante se quisermos apenas uma função potencial.

Resposta

A função potencial é

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