Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o campo vetorial é conservativo e, além disso, encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre campos vetoriais conservativos, o conceito de função potencial e como calcular o rotacional de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar , ou seja, . Uma condição necessária para isso é que o rotacional de seja zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Passo 4
Calculando o determinante, temos:
Passo 5
Vamos derivar cada termo:
Para :
Portanto:
Para :
Portanto:
Para :
Portanto:
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Como o rotacional de é zero, o campo é conservativo.
Passo 7
Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 8
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .
Passo 9
Agora, vamos usar a segunda equação:
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Passo 10
Agora, vamos usar a terceira equação:
Isso implica que:
Integrando:
Onde é a constante de integração.
Passo 11
Substituindo na expressão de :
Podemos ignorar a constante se quisermos apenas uma função potencial.