Ache
e div
para o campo vetorial dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o rotacional (ou rot) e a divergência (ou div) do campo vetorial dado:
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde analisamos como os campos vetoriais se comportam em diferentes pontos do espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas parciais das funções que compõem o campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a divergência de
. A divergência é uma medida de quanto o campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial
, a divergência é dada por:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro,
:
Porque a derivada de
em relação a
é
, e
é constante em relação a
.
Segundo,
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, e
é constante em relação a
.
Então, a divergência fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional (ou rot) de
. O rotacional em duas dimensões nos dá uma ideia de quanto o campo está “girando” ao redor de um ponto. Para um campo vetorial
, o rotacional é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro,
:
Porque a derivada de
em relação a
é
, e
é constante em relação a
.
Segundo,
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, e
é constante em relação a
.
Então, o rotacional fica:
Resposta
A divergência do campo vetorial é
e o rotacional é
.