Integre
sobre a curva dada:
no primeiro quadrante de
a
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que integrar a função
ao longo de uma curva
que está no primeiro quadrante, indo do ponto
até
. A curva
é definida pelas equações
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como parametrizar a curva
.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. A curva é a interseção das duas equações
e
. Vamos substituir
na segunda equação:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática em termos de
:
Só consideramos a solução positiva porque
não pode ser negativo:
Então,
E como
, temos:
Passo 4
Agora, para calcular a integral ao longo da curva
, vamos usar a integral de linha de uma função escalar, que é dada por:
onde
é o elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 5
Vamos parametrizar a curva
em termos de
. Como
, podemos usar
como nosso parâmetro:
O intervalo para
vai de
a
.
Passo 6
Calculamos
usando a fórmula:
Passo 7
Substituímos
e
na integral:
Passo 8
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar a resolução completa como exercício, mas o importante é entender os passos que nos levaram até aqui.
Resposta
A integral de
ao longo da curva
é dada por: