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e div
para o campo vetorial dado:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o rotacional (também conhecido como rot ou curl) e a divergente de um campo vetorial específico. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, e para resolver vamos precisar saber como calcular o rotacional e a divergente de uma função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado:
. Isso significa que a componente na direção
(ou no eixo x) é
e na direção
(ou no eixo y) é
.
Passo 3
Vamos calcular a divergente de
. A divergente é uma operação que nos dá uma medida da “difusão” do campo vetorial. Em duas dimensões, ela é calculada assim:
Onde
e
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Porque
não depende de
.
Passo 6
Agora, somando as duas derivadas para encontrar a divergente:
Passo 7
Vamos agora calcular o rotacional de
. Em duas dimensões, o rotacional é uma medida da “circulação” do campo vetorial e é dado por:
Passo 8
Calculando
:
E
:
Passo 9
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Resposta
Então, a divergente de
é
e o rotacional de
é
.