Ache rot F e div F para o campo vetorial dado: F(x, y) = -y/x i + 1/x j;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o rotacional (também conhecido como rot ou curl) e a divergente de um campo vetorial específico. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, e para resolver vamos precisar saber como calcular o rotacional e a divergente de uma função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado: . Isso significa que a componente na direção (ou no eixo x) é e na direção (ou no eixo y) é .

Passo 3

Vamos calcular a divergente de . A divergente é uma operação que nos dá uma medida da “difusão” do campo vetorial. Em duas dimensões, ela é calculada assim:
Onde e .

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :
Porque não depende de .

Passo 6

Agora, somando as duas derivadas para encontrar a divergente:

Passo 7

Vamos agora calcular o rotacional de . Em duas dimensões, o rotacional é uma medida da “circulação” do campo vetorial e é dado por:

Passo 8

Calculando :
E :

Passo 9

Agora, substituindo na fórmula do rotacional:

Resposta

Então, a divergente de é e o rotacional de é .

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