Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x, y, z) = (y + z) i + (x + z) j + (x + y) k; C é o segmento de reta da origem ao ponto (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de um caminho C, que é o segmento de reta da origem até o ponto (1, 1, 1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho através de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho C. Como C é o segmento de reta da origem (0, 0, 0) até o ponto (1, 1, 1), podemos representar a posição da partícula de forma simples usando um parâmetro t, que varia de 0 a 1. Então, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar o campo de forças ao longo desse caminho. Substituindo , e na expressão de F, temos:

Passo 4

Para calcular o trabalho realizado, precisamos do vetor tangente ao caminho, que é a derivada de r(t) em relação a t:

Passo 5

O trabalho W é dado pela integral de linha do produto escalar entre o campo de forças e o vetor tangente ao caminho:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, integramos de 0 a 1:

Resposta

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