Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva
. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons:
;
é o segmento de reta da origem ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças
sobre uma partícula que se move ao longo de um caminho
, que é o segmento de reta da origem até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho através de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o caminho
. Como
é o segmento de reta da origem
até o ponto
, podemos representar a posição da partícula de forma simples usando um parâmetro
, que varia de 0 a 1. Então, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar o campo de forças ao longo desse caminho. Substituindo
,
e
na expressão de
, temos:
Passo 4
Para calcular o trabalho realizado, precisamos do vetor tangente ao caminho, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
O trabalho
é dado pela integral de linha do produto escalar entre o campo de forças e o vetor tangente ao caminho:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, integramos
de
a
: