Ache rot F e div F para o campo vetorial dado: F(x, y, z) = x^2 i + y^2 j + z^2 k

Passo 1

Beleza, você quer descobrir o rotacional (ou “rot”) e a divergência (ou “div”) do campo vetorial . Esses conceitos fazem parte do cálculo vetorial, especificamente na análise de campos vetoriais. Vamos precisar entender as definições de rotacional e divergência e aplicar as fórmulas correspondentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência é uma medida de quão “denso” o campo vetorial está em um ponto, basicamente indica se o campo está “saindo” ou “entrando” nesse ponto. A fórmula para a divergência é:
Onde , e são as componentes de .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial .
Primeiro, calculemos as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas para encontrar a divergência:

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é dada pelo determinante da seguinte matriz:

Passo 6

Vamos calcular cada componente do rotacional:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Assim, combinando as componentes, temos:

Resposta

O rotacional de é e a divergência de é .

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