Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva . Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede pra gente encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva específica. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais precisamente a integração de linha para calcular o trabalho. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da posição em relação ao tempo, substituir na função força, e então fazer a integração do produto escalar das duas funções resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva . A curva é dada por:
Isso significa que a posição da partícula ao longo do tempo está descrita por essa função vetorial.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação ao tempo , que representa a velocidade da partícula. Derivando cada componente:
Passo 4
Em seguida, vamos substituir a parametrização na função força :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre e :
Simplificando:
Passo 6
Por fim, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o trabalho total: