Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x, y, z)=x i+y j+(y z-x) k ; C: R(t)=2 t i+t^2 j+4 t^3 k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede pra gente encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva específica. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais precisamente a integração de linha para calcular o trabalho. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da posição em relação ao tempo, substituir na função força, e então fazer a integração do produto escalar das duas funções resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva R(t) = 2t i + t^2 j + 4t^3 k, 0 <= t <= 1 . A curva é dada por:
Isso significa que a posição da partícula ao longo do tempo está descrita por essa função vetorial.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dR(t)dt = ddt(2t) i + ddt(t^2) j + ddt(4t^3) k = 2 i + 2t j + 12t^2 k em relação ao tempo , que representa a velocidade da partícula. Derivando cada componente:

Passo 4

Em seguida, vamos substituir a parametrização F(R(t)) = 2t i + t^2 j + (t^2 cdot 4t^3 - 2t) k = 2t i + t^2 j + (4t^5 - 2t) k na função força :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre F cdot dRdt = (2t)(2) + (t^2)(2t) + (4t^5 - 2t)(12t^2) = 4t + 2t^3 + 48t^7 - 24t^3 e F cdot dRdt = 4t - 22t^3 + 48t^7 :
Simplificando:

Passo 6

Por fim, vamos integrar essa expressão de W = integral0^1 (4t - 22t^3 + 48t^7) , dt até W = 4 ( t^22 ) - 22 ( t^44 ) + 48 ( t^88 ) g|0^1 = 2 - 5.5 + 6 = 2.5 J para encontrar o trabalho total:
Calculando a integral:

Resposta

O trabalho total realizado é joules.

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