Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva C. Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: F(x, y) = -x^2 y i + 2 y j ; C: R(t) = a cos(t) i + a sen(t) j, 0 <= t <= pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva . Estamos lidando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho usando o campo de forças e a parametrização da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva é dado por:
Isso significa que precisamos calcular a integral do produto escalar entre o campo de forças e o diferencial do vetor posição ao longo da curva.

Passo 3

Vamos identificar o que temos:
  • Campo de forças:
  • Parametrização da curva:

Passo 4

Para calcular a integral, precisamos expressar em termos de . Substituímos e da parametrização na expressão do campo:
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Calculando o produto escalar:

Passo 7

Agora, a integral para o trabalho fica:
Vamos resolver essa integral em duas partes separadas:

Passo 8

Calculando a primeira integral:
Podemos usar a identidade trigonométrica:
Multiplicando:
Usando novamente a identidade:
Então,
Portanto,

Passo 9

Calculando a segunda integral:
Usamos a substituição , então :

Passo 10

Agora, somamos as duas partes:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças sobre a partícula é joules.

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