Ache o trabalho total realizado pelo campo de forças dado sobre uma partícula que percorre o arco de curva . Suponha que o arco seja medido em metros e a força em newtons: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças sobre uma partícula que se move ao longo de uma curva . Estamos lidando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho usando o campo de forças e a parametrização da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva é dado por:
Isso significa que precisamos calcular a integral do produto escalar entre o campo de forças e o diferencial do vetor posição ao longo da curva.
Passo 3
Vamos identificar o que temos:
Campo de forças:
Parametrização da curva:
Passo 4
Para calcular a integral, precisamos expressar em termos de . Substituímos e da parametrização na expressão do campo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Passo 6
O próximo passo é calcular o produto escalar :
Calculando o produto escalar:
Passo 7
Agora, a integral para o trabalho fica:
Vamos resolver essa integral em duas partes separadas:
Passo 8
Calculando a primeira integral:
Podemos usar a identidade trigonométrica:
Multiplicando:
Usando novamente a identidade:
Então,
Portanto,
Passo 9
Calculando a segunda integral:
Usamos a substituição , então :
Passo 10
Agora, somamos as duas partes:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças sobre a partícula é joules.