Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função ao potencial: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial . A tarefa é provar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Pra isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar essa função potencial.

Passo 2

Primeiro, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar . Isso significa que:
Além disso, uma condição importante para que isso seja verdade é que o campo deve ter a propriedade de que a sua “giro” (ou rotacional) é zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo . Em duas dimensões, o rotacional de é dado por:
No nosso caso, e , então:
Então:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de só.
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos escolher para simplificar.

Resposta

A função potencial é .

Exercícios relacionados

Ache e para o campo vetorial dado:
Determine se o campo vetorial dado é conservativo: ;
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função ao potencial:
Encontre a massa de um arame que está sobre a curva , se a densidade for .