Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função
ao potencial:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
. A tarefa é provar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial
para ele. Pra isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como encontrar essa função potencial.
Passo 2
Primeiro, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
. Isso significa que:
Além disso, uma condição importante para que isso seja verdade é que o campo deve ter a propriedade de que a sua “giro” (ou rotacional) é zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo
. Em duas dimensões, o rotacional de
é dado por:
No nosso caso,
e
, então:
Então:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
só.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos escolher
para simplificar.
Resposta
A função potencial é
.
Exercícios relacionados
Ache
e
para o campo vetorial dado:
Determine se o campo vetorial dado é conservativo:
;
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função
ao potencial:
Encontre a massa de um arame que está sobre a curva
, se a densidade for
.