Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função ao potencial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o campo vetorial é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Isso está no campo do Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar lembrar que um campo vetorial é conservativo se seu rotacional for zero e, então, integrar as componentes para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo calculando o rotacional de , ou seja, . Se o rotacional for igual a zero, então o campo é conservativo.

Passo 3

Calculando o rotacional :
Vamos calcular cada componente:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:
Portanto:

Passo 4

Para o campo ser conservativo, o rotacional deve ser zero. Observamos que:
A menos que , ou seja, , o que só ocorre quando . Porém, para um campo ser conservativo, o rotacional precisa ser zero em todo o domínio, não apenas em pontos específicos.

Passo 5

Como o rotacional de não é zero em todo o domínio (a menos que ), concluímos que o campo não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, já que seu rotacional não é zero em todo o domínio.

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Ache e para o campo vetorial dado:
Encontre a massa de um arame que está sobre a curva , se a densidade for .
Integre sobre o caminho .