Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função
ao potencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o campo vetorial
é conservativo e encontrar uma função potencial
para ele. Isso está no campo do Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar lembrar que um campo vetorial é conservativo se seu rotacional for zero e, então, integrar as componentes para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo calculando o rotacional de
, ou seja,
. Se o rotacional for igual a zero, então o campo é conservativo.
Passo 3
Calculando o rotacional
:
Vamos calcular cada componente:
- Para
:
Então:
- Para
:
Então:
- Para
:
Então:
Portanto:
Passo 4
Para o campo ser conservativo, o rotacional deve ser zero. Observamos que:
A menos que
, ou seja,
, o que só ocorre quando
. Porém, para um campo ser conservativo, o rotacional precisa ser zero em todo o domínio, não apenas em pontos específicos.
Passo 5
Como o rotacional de
não é zero em todo o domínio (a menos que
), concluímos que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, já que seu rotacional não é zero em todo o domínio.
Exercícios relacionados
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função
ao potencial:
;
Ache
e
para o campo vetorial dado:
Encontre a massa de um arame que está sobre a curva
, se a densidade for
.
Integre
sobre o caminho
.