Determine o valor de lim h 0 f(x+h)-f(x)h quando:
(a) f(x)=x
(b) f(x)=x^2
© f(x)=x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o limite para diferentes funções . Esse limite é uma forma de calcular a derivada de uma função, que basicamente nos diz a inclinação da função em qualquer ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada e aplicar passo a passo nas funções dadas: , e .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), onde f(x+h)-f(x)h = (x + h) - xh .
Primeiro, substituímos hh = 1 por lim h 0 1 = 1 , já que .
A expressão fica:
Simplificando o numerador:
Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde f(x+h)-f(x)h = (x + h)^2 - x^2h .
Primeiro, substituímos (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 por x^2 + 2xh + h^2 - x^2h = 2xh + h^2h .
A expressão fica:
2x + h
Vamos expandir lim h 0 (2x + h) = 2x :
Substituindo de volta:
Agora, dividimos cada termo do numerador por :
Calculando o limite quando tende a 0:

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte ©, onde f(x+h)-f(x)h = (x + h)^3 - x^3h .
Primeiro, substituímos (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 por x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3h = 3x^2h + 3xh^2 + h^3h .
A expressão fica:
3x^2 + 3xh + h^2
Vamos expandir lim h 0 (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2 usando a fórmula do binômio:
Substituindo de volta:
Agora, dividimos cada termo do numerador por :
Calculando o limite quando tende a 0:

Resposta

© O valor do limite é .

Resumo Final

(a)
(b)
©

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