Ache uma seqüência infinita
de subespaços vetoriais de
tais que: (a)
; (b)
se
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente encontre uma sequência infinita de subespaços vetoriais
do espaço
(que supomos ser o espaço das polinômios) com duas propriedades:
- Cada subespaço
tem dimensão infinita. - Se
, então a interseção contém apenas o vetor zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, dimensão de um espaço vetorial e como garantir que subespaços diferentes só compartilhem o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos definir cada subespaço
. Uma maneira de garantir que cada
tenha dimensão infinita é incluir polinômios de diferentes graus que satisfaçam certas condições. Vamos definir
como o conjunto de todos os polinômios que são múltiplos de um polinômio fixo de grau
, por exemplo,
.
Então, podemos definir:
Aqui,
é qualquer polinômio, e multiplicando por
, garantimos que todos os polinômios em
têm pelo menos grau
.
Como podemos ver,
é infinito porque há infinitos polinômios
que podem ser multiplicados por
, resultando em infinitos elementos distintos em
.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que se tivermos dois subespaços diferentes
e
com
, a única coisa que eles compartilham é o vetor zero.
Vamos supor que existe um polinômio
que pertence tanto a
quanto a
. Isso significa que:
para alguns polinômios
e
. Sem perda de generalidade, suponha que
. Então, podemos reescrever isso como:
Isso implica que
deve ser um múltiplo de
. Porém, para
pertencer a ambos os subespaços,
e
devem ser tais que o único polinômio satisfazendo essa igualdade é o polinômio zero. Portanto, a interseção
contém apenas o vetor zero.
Resposta
Assim, construímos uma sequência infinita de subespaços vetoriais
em
onde cada
tem dimensão infinita e qualquer dois subespaços diferentes
e
satisfazem
.
Exercícios relacionados
Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão:
(a) polinômios pares de grau .
(b) polinômios ímpares de grau .
© polinômios de grau que se anulam para
e
.
(d) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.
(a) polinômios pares de grau
(b) polinômios ímpares de grau
© polinômios de grau
(d) vetores de
Num espaço vetorial
, diz-se que o vetor
é uma combinação afim dos vetores
quando se tem
, com
. Diz-se que os vetores
são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) Os vetores são afim-independentes.
(2) Se e
então
.
(3) então
. (Em particular, duas combinações afins dos
só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por tem dimensão
.
(1) Os vetores
(2) Se
(3)
(4) Os vetores
(5) A variedade afim gerada por
Para
e
, sejam
as funções definidas por
soma dos elementos da i-ésima linha de
e
soma dos elementos da j-ésima coluna de a. Prove que
são L.D. no espaço vetorial
mas o conjunto
é L.I. .
Todas as entradas de uma matriz triangular superior são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.