Ache uma seqüência infinita de subespaços vetoriais de tais que: (a) ; (b) se .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente encontre uma sequência infinita de subespaços vetoriais do espaço (que supomos ser o espaço das polinômios) com duas propriedades:
  1. Cada subespaço tem dimensão infinita.
  2. Se , então a interseção contém apenas o vetor zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, dimensão de um espaço vetorial e como garantir que subespaços diferentes só compartilhem o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos definir cada subespaço . Uma maneira de garantir que cada tenha dimensão infinita é incluir polinômios de diferentes graus que satisfaçam certas condições. Vamos definir como o conjunto de todos os polinômios que são múltiplos de um polinômio fixo de grau , por exemplo, .
Então, podemos definir:
Aqui, é qualquer polinômio, e multiplicando por , garantimos que todos os polinômios em têm pelo menos grau .
Como podemos ver, é infinito porque há infinitos polinômios que podem ser multiplicados por , resultando em infinitos elementos distintos em .

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que se tivermos dois subespaços diferentes e com , a única coisa que eles compartilham é o vetor zero.
Vamos supor que existe um polinômio que pertence tanto a quanto a . Isso significa que:
para alguns polinômios e . Sem perda de generalidade, suponha que . Então, podemos reescrever isso como:
Isso implica que deve ser um múltiplo de . Porém, para pertencer a ambos os subespaços, e devem ser tais que o único polinômio satisfazendo essa igualdade é o polinômio zero. Portanto, a interseção contém apenas o vetor zero.

Resposta

Assim, construímos uma sequência infinita de subespaços vetoriais em onde cada tem dimensão infinita e qualquer dois subespaços diferentes e satisfazem .

Exercícios relacionados

Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão:
(a) polinômios pares de grau .
(b) polinômios ímpares de grau .
© polinômios de grau que se anulam para e .
(d) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.
Num espaço vetorial , diz-se que o vetor é uma combinação afim dos vetores quando se tem , com . Diz-se que os vetores são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) Os vetores são afim-independentes.
(2) Se e então .
(3) então . (Em particular, duas combinações afins dos só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por tem dimensão .
Para e , sejam as funções definidas por soma dos elementos da i-ésima linha de e soma dos elementos da j-ésima coluna de a. Prove que são L.D. no espaço vetorial mas o conjunto é L.I. .
Todas as entradas de uma matriz triangular superior são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.