Ache uma seqüência infinita F1, F2, ldots, Fn, ldots de subespaços vetoriais de P tais que: (a) dim Fn=infty; (b) Fm cap Fn=0 se m neq n.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente encontre uma sequência infinita de subespaços vetoriais do espaço (que supomos ser o espaço das polinômios) com duas propriedades:
  1. Cada subespaço tem dimensão infinita.
  2. Se , então a interseção contém apenas o vetor zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, dimensão de um espaço vetorial e como garantir que subespaços diferentes só compartilhem o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos definir cada subespaço Fn = x^n cdot p(x) mid p(x) in P . Uma maneira de garantir que cada tenha dimensão infinita é incluir polinômios de diferentes graus que satisfaçam certas condições. Vamos definir como o conjunto de todos os polinômios que são múltiplos de um polinômio fixo de grau , por exemplo, .
Então, podemos definir:
Aqui, é qualquer polinômio, e multiplicando por , garantimos que todos os polinômios em têm pelo menos grau .
Como podemos ver, é infinito porque há infinitos polinômios que podem ser multiplicados por , resultando em infinitos elementos distintos em .

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que se tivermos dois subespaços diferentes p(x) = x^m cdot q(x) = x^n cdot r(x) e x^m cdot q(x) = x^n cdot r(x) implies q(x) = x^n - m cdot r(x) com , a única coisa que eles compartilham é o vetor zero.
Vamos supor que existe um polinômio que pertence tanto a quanto a . Isso significa que:
para alguns polinômios e . Sem perda de generalidade, suponha que . Então, podemos reescrever isso como:
Isso implica que deve ser um múltiplo de . Porém, para pertencer a ambos os subespaços, e devem ser tais que o único polinômio satisfazendo essa igualdade é o polinômio zero. Portanto, a interseção contém apenas o vetor zero.

Resposta

Assim, construímos uma sequência infinita de subespaços vetoriais em onde cada tem dimensão infinita e qualquer dois subespaços diferentes e satisfazem .

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