Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão:
(a) polinômios pares de grau .
(b) polinômios ímpares de grau .
© polinômios de grau que se anulam para e .
(d) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para cada um dos espaços vetoriais listados e depois calcular a dimensão deles. Para isso, vamos precisar entender sobre polinômios pares e ímpares, condições de anulação de polinômios em pontos específicos e restrições em componentes de vetores em . Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Polinômios pares de grau

Primeiro, vamos pensar no que é um polinômio par. Um polinômio é par se para todo . Isso significa que apenas as potências pares de aparecem no polinômio.

Base

A base dos polinômios pares de grau é formada pelos monômios de potências pares até . Assim, temos:
onde . Se for ímpar, o maior termo será .

Dimensão

A dimensão desse espaço é o número de elementos na base, ou seja, .

Passo 3

Parte (b): Polinômios ímpares de grau

Agora, vamos considerar os polinômios ímpares. Um polinômio é ímpar se , o que implica que apenas as potências ímpares de aparecem.

Base

A base dos polinômios ímpares de grau é formada pelos monômios de potências ímpares até :
onde . Se for par, o maior termo será .

Dimensão

A dimensão desse espaço é o número de elementos na base, que é também .

Passo 4

Parte ©: Polinômios de grau que se anulam para e

Aqui, queremos polinômios que têm e como raízes. Isso significa que o polinômio pode ser escrito como:
onde é um polinômio de grau .

Base

A base desses polinômios é obtida multiplicando pelos monômios até grau :

Dimensão

A dimensão desse espaço é , pois tem grau e há monômios de .

Passo 5

Parte (d): Vetores de (com ) nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais

Aqui, temos vetores onde .

Base

Podemos expressar onde é uma constante. Assim, podemos escrever os vetores como:
A base será composta por vetores onde cada uma das coordenadas livres (exceto , e ) pode assumir o valor 1 enquanto as outras são 0, além de um vetor que representa a condição :
onde é o vetor com 1 na -ésima posição e 0 nas demais.

Dimensão

A dimensão desse espaço é , já que há 3 restrições (uma para cada coordenada igual) em um espaço de dimensões.

Resposta

(a) A base é com dimensão .
(b) A base é com dimensão .
© A base é com dimensão .
(d) A base é com dimensão .

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Num espaço vetorial , diz-se que o vetor é uma combinação afim dos vetores quando se tem , com . Diz-se que os vetores são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) Os vetores são afim-independentes.
(2) Se e então .
(3) então . (Em particular, duas combinações afins dos só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por tem dimensão .
Uma matriz diagonal é invertível se, e só se, todas as entradas diagonais são positivas.
Ache uma seqüência infinita de subespaços vetoriais de tais que: (a) ; (b) se .
Para e , sejam as funções definidas por soma dos elementos da i-ésima linha de e soma dos elementos da j-ésima coluna de a. Prove que são L.D. no espaço vetorial mas o conjunto é L.I. .