Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão:
(a) polinômios pares de grau
.
(b) polinômios ímpares de grau
.
© polinômios de grau
que se anulam para
e
.
(d) vetores de
nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.
(a) polinômios pares de grau
(b) polinômios ímpares de grau
© polinômios de grau
(d) vetores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para cada um dos espaços vetoriais listados e depois calcular a dimensão deles. Para isso, vamos precisar entender sobre polinômios pares e ímpares, condições de anulação de polinômios em pontos específicos e restrições em componentes de vetores em
. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Polinômios pares de grau
Primeiro, vamos pensar no que é um polinômio par. Um polinômio
é par se
para todo
. Isso significa que apenas as potências pares de
aparecem no polinômio.
Base
A base dos polinômios pares de grau
é formada pelos monômios de potências pares até
. Assim, temos:
onde
. Se
for ímpar, o maior termo será
.
Dimensão
A dimensão desse espaço é o número de elementos na base, ou seja,
.
Passo 3
Parte (b): Polinômios ímpares de grau
Agora, vamos considerar os polinômios ímpares. Um polinômio
é ímpar se
, o que implica que apenas as potências ímpares de
aparecem.
Base
A base dos polinômios ímpares de grau
é formada pelos monômios de potências ímpares até
:
onde
. Se
for par, o maior termo será
.
Dimensão
A dimensão desse espaço é o número de elementos na base, que é também
.
Passo 4
Parte ©: Polinômios de grau
que se anulam para
e
Aqui, queremos polinômios que têm
e
como raízes. Isso significa que o polinômio pode ser escrito como:
onde
é um polinômio de grau
.
Base
A base desses polinômios é obtida multiplicando
pelos monômios até grau
:
Dimensão
A dimensão desse espaço é
, pois
tem grau
e há
monômios de
.
Passo 5
Parte (d): Vetores de
(com
) nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais
Aqui, temos vetores
onde
.
Base
Podemos expressar
onde
é uma constante. Assim, podemos escrever os vetores como:
A base será composta por vetores onde cada uma das coordenadas livres (exceto
,
e
) pode assumir o valor 1 enquanto as outras são 0, além de um vetor que representa a condição
:
onde
é o vetor com 1 na
-ésima posição e 0 nas demais.
Dimensão
A dimensão desse espaço é
, já que há 3 restrições (uma para cada coordenada igual) em um espaço de
dimensões.
Resposta
(a) A base é
com dimensão
.
(b) A base é
com dimensão
.
© A base é
com dimensão
.
(d) A base é
com dimensão
.
Exercícios relacionados
Num espaço vetorial
, diz-se que o vetor
é uma combinação afim dos vetores
quando se tem
, com
. Diz-se que os vetores
são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) Os vetores são afim-independentes.
(2) Se e
então
.
(3) então
. (Em particular, duas combinações afins dos
só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por tem dimensão
.
(1) Os vetores
(2) Se
(3)
(4) Os vetores
(5) A variedade afim gerada por
Uma matriz diagonal é invertível se, e só se, todas as entradas diagonais são positivas.
Ache uma seqüência infinita
de subespaços vetoriais de
tais que: (a)
; (b)
se
.
Para
e
, sejam
as funções definidas por
soma dos elementos da i-ésima linha de
e
soma dos elementos da j-ésima coluna de a. Prove que
são L.D. no espaço vetorial
mas o conjunto
é L.I. .