Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão:
(a) polinômios pares de grau <= n.
(b) polinômios ímpares de grau <= n.
© polinômios de grau <= n que se anulam para x=2 e x=3.
(d) vetores de R^n(n >= 6) nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para cada um dos espaços vetoriais listados e depois calcular a dimensão deles. Para isso, vamos precisar entender sobre polinômios pares e ímpares, condições de anulação de polinômios em pontos específicos e restrições em componentes de vetores em . Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Polinômios pares de grau 1, x^2, x^4, dots, x^2k

Primeiro, vamos pensar no que é um polinômio par. Um polinômio é par se para todo . Isso significa que apenas as potências pares de aparecem no polinômio.

Base

A base dos polinômios pares de grau é formada pelos monômios de potências pares até . Assim, temos:
onde . Se for ímpar, o maior termo será .

Dimensão

A dimensão desse espaço é o número de elementos na base, ou seja, .

Passo 3

Parte (b): Polinômios ímpares de grau x, x^3, x^5, dots, x^2k+1

Agora, vamos considerar os polinômios ímpares. Um polinômio é ímpar se , o que implica que apenas as potências ímpares de aparecem.

Base

A base dos polinômios ímpares de grau é formada pelos monômios de potências ímpares até :
onde . Se for par, o maior termo será .

Dimensão

A dimensão desse espaço é o número de elementos na base, que é também .

Passo 4

Parte ©: Polinômios de grau P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) que se anulam para (x-2)(x-3), x(x-2)(x-3), x^2(x-2)(x-3), dots, x^n-2(x-2)(x-3) e

Aqui, queremos polinômios que têm e como raízes. Isso significa que o polinômio pode ser escrito como:
onde é um polinômio de grau .

Base

A base desses polinômios é obtida multiplicando pelos monômios até grau :

Dimensão

A dimensão desse espaço é , pois tem grau e há monômios de .

Passo 5

Parte (d): Vetores de v = (v1, c, v3, c, v5, c, v7, dots, vn) (com e1, e3, e5, e7, dots, en, (0,1,0,1,0,1,0,dots,0) ) nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais

Aqui, temos vetores onde .

Base

Podemos expressar onde é uma constante. Assim, podemos escrever os vetores como:
A base será composta por vetores onde cada uma das coordenadas livres (exceto , e ) pode assumir o valor 1 enquanto as outras são 0, além de um vetor que representa a condição :
onde é o vetor com 1 na -ésima posição e 0 nas demais.

Dimensão

A dimensão desse espaço é , já que há 3 restrições (uma para cada coordenada igual) em um espaço de dimensões.

Resposta

(a) A base é com dimensão .
(b) A base é com dimensão .
© A base é com dimensão .
(d) A base é com dimensão .

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