Num espaço vetorial
, diz-se que o vetor
é uma combinação afim dos vetores
quando se tem
, com
. Diz-se que os vetores
são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) Os vetores
são afim-independentes.
(2) Se
e
então
.
(3)
então
. (Em particular, duas combinações afins dos
só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores
são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por
tem dimensão
.
(1) Os vetores
(2) Se
(3)
(4) Os vetores
(5) A variedade afim gerada por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um espaço vetorial
e queremos provar que cinco afirmações sobre vetores
são equivalentes. Isso envolve conceitos de combinação afim, independência afim, e dimensão de variedades afins. Precisaremos usar definições de combinação afim, independência linear e propriedades de espaços vetoriais.
Passo 2
Vamos começar definindo combinação afim. Um vetor
é uma combinação afim dos vetores
se existe escalares
tais que:
Isso significa que
é uma combinação linear dos
com os coeficientes somando 1.
Passo 3
Independência afim: Os vetores
são afim-independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação afim dos demais. Em outras palavras, não existe um vetor
que possa ser expresso como:
Passo 4
Agora, vamos verificar a equivalência entre as afirmações. Começaremos mostrando que (1) implica (2).
(1) ⇒ (2):
Assume que são afim-independentes. Se
e
, isso implica que a única solução é que todos os
são zero, ou seja,
. Isso satisfaz a definição de afim-independência.
Assume que
Passo 5
(2) ⇒ (3):
Assumimos que se e
, então
. Agora, suponha que duas combinações afins sejam iguais:
Assumimos que se
Subtraindo as duas equações, temos:
Pela afirmação (2), isso implica que
para todo
, ou seja,
.
Passo 6
(3) ⇒ (4):
Assumimos que duas combinações afins iguais têm os mesmos coeficientes. Queremos mostrar que os vetores são linearmente independentes.
Assumimos que duas combinações afins iguais têm os mesmos coeficientes. Queremos mostrar que os vetores
Suponha uma combinação linear:
Expandindo:
Rearranjando:
Isso é uma combinação afim onde os coeficientes somam zero:
Pela afirmação (3), todos os
, o que prova que os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
(4) ⇒ (5):
Se os vetores são linearmente independentes, então eles formam uma base para a variedade afim gerada por
. A dimensão dessa variedade é o número de vetores na base, que é
.
Se os vetores
Passo 8
(5) ⇒ (1):
Se a variedade afim gerada por tem dimensão
, isso implica que os vetores são afim-independentes. Caso contrário, a dimensão seria menor, significando que algum vetor seria uma combinação afim dos demais.
Se a variedade afim gerada por
Resposta
Portanto, as afirmações (1), (2), (3), (4) e (5) são todas equivalentes.
Exercícios relacionados
Uma matriz diagonal é invertível se, e só se, todas as entradas diagonais são positivas.
Seja
o conjunto das matrizes simétricas
. Para cada par
de números naturais de 1 até
, com
, seja
a matriz
cujos elementos nas posições ij e ji são iguais a 1 e os demais são zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaço vetorial
. De modo análogo, obtenha uma base do subespaço
das matrizes anti-simétricas
. Conclua que
e
.
Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão:
(a) polinômios pares de grau .
(b) polinômios ímpares de grau .
© polinômios de grau que se anulam para
e
.
(d) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.
(a) polinômios pares de grau
(b) polinômios ímpares de grau
© polinômios de grau
(d) vetores de
Ache uma seqüência infinita
de subespaços vetoriais de
tais que: (a)
; (b)
se
.