Num espaço vetorial E, diz-se que o vetor v é uma combinação afim dos vetores v1, ldots, vr quando se tem v=alpha1 v1+cdots+alphar vr, com alpha1+cdots+alphar=1. Diz-se que os vetores v1, ldots, vr são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(1) Os vetores v1, ldots, vr são afim-independentes.
(2) Se alpha1 v1+cdots+alphar vr=0 e alpha1+cdots+alphar=0 então alpha1=cdots=alphar=0.
(3) Se alpha1 v1+cdots+alphar vr=beta1 v1+cdots+betar vr com sumi=1^r alphai=sumi=1^r betai então alpha1=beta1, ldots, alphar=betar. (Em particular, duas combinações afins dos vi só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.)
(4) Os vetores v2-v1, v3-v1, ldots, vr-v1 são L.I. .
(5) A variedade afim gerada por v1, ldots, vr tem dimensão r-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um espaço vetorial e queremos provar que cinco afirmações sobre vetores são equivalentes. Isso envolve conceitos de combinação afim, independência afim, e dimensão de variedades afins. Precisaremos usar definições de combinação afim, independência linear e propriedades de espaços vetoriais.

Passo 2

Vamos começar definindo combinação afim. Um vetor v = alpha1 v1 + cdots + alphar vr e alpha1 + cdots + alphar = 1 é uma combinação afim dos vetores se existe escalares tais que:
Isso significa que é uma combinação linear dos com os coeficientes somando 1.

Passo 3

Independência afim: Os vetores vi = beta1 v1 + cdots + betai-1 vi-1 + betai+1 vi+1 + cdots + betar vr com beta1 + cdots + betai-1 + betai+1 + cdots + betar = 1 são afim-independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação afim dos demais. Em outras palavras, não existe um vetor que possa ser expresso como:

Passo 4

Agora, vamos verificar a equivalência entre as afirmações. Começaremos mostrando que (1) implica (2).
(1) ⇒ (2):
Assume que são afim-independentes. Se e , isso implica que a única solução é que todos os são zero, ou seja, . Isso satisfaz a definição de afim-independência.

Passo 5

(2) ⇒ (3):
Assumimos que se alpha1 v1 + cdots + alphar vr = beta1 v1 + cdots + betar vr e sum alphai = sum betai e (alpha1 - beta1) v1 + cdots + (alphar - betar) vr = 0 e sum (alphai - betai) = 0 , então . Agora, suponha que duas combinações afins sejam iguais:
Subtraindo as duas equações, temos:
Pela afirmação (2), isso implica que para todo , ou seja, .

Passo 6

(3) ⇒ (4):
Assumimos que duas combinações afins iguais têm os mesmos coeficientes. Queremos mostrar que os vetores gamma2 (v2 - v1) + gamma3 (v3 - v1) + cdots + gammar (vr - v1) = 0 são linearmente independentes.
Suponha uma combinação linear:
-gamma2 v1 - gamma3 v1 - cdots - gammar v1 + gamma2 v2 + gamma3 v3 + cdots + gammar vr = 0
Expandindo:
(gamma2 v2 + gamma3 v3 + cdots + gammar vr) + (-gamma2 - gamma3 - cdots - gammar) v1 = 0
Rearranjando:
gamma1 = -(gamma2 + cdots + gammar), gamma1 + gamma2 + cdots + gammar = 0
Isso é uma combinação afim onde os coeficientes somam zero:
Pela afirmação (3), todos os , o que prova que os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

(4) ⇒ (5):
Se os vetores são linearmente independentes, então eles formam uma base para a variedade afim gerada por . A dimensão dessa variedade é o número de vetores na base, que é .

Passo 8

(5) ⇒ (1):
Se a variedade afim gerada por tem dimensão , isso implica que os vetores são afim-independentes. Caso contrário, a dimensão seria menor, significando que algum vetor seria uma combinação afim dos demais.

Resposta

Portanto, as afirmações (1), (2), (3), (4) e (5) são todas equivalentes.

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