Para 1 <= i <= m e 1 <= j <= n, sejam si, tj: M(m times n) R as funções definidas por si(a)= soma dos elementos da i-ésima linha de a e tj(a)= soma dos elementos da j-ésima coluna de a. Prove que s1, ldots, sm, t1, ldots, tn são L.D. no espaço vetorial E=F(M(m times n) ; R) mas o conjunto s1, ldots, sm-1, t1, ldots, tn é L.I. .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos funções que somam os elementos das linhas e das colunas de uma matriz de dimensão . Especificamente, soma os elementos da i-ésima linha e soma os elementos da j-ésima coluna. O objetivo é mostrar duas coisas:
  1. Que todas essas funções são linearmente dependentes no espaço vetorial .
  2. Que, se retirarmos uma das funções , ou seja, considerarmos , esse conjunto passa a ser linearmente independente.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear, dependência e independência linear, além de como essas funções se relacionam no espaço vetorial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa um conjunto de funções ser linearmente dependente. Isso quer dizer que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero, ou seja:
c1 s1 + c2 s2 + ldots + cm sm + d1 t1 + ldots + dn tn = 0
onde nem todos os coeficientes e são zero. Se esse tipo de relação existir, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos mostrar que todas as funções sumi=1^m si(a) = soma de todas as linhas são linearmente dependentes. Para isso, consideremos a soma de todas as funções sumj=1^n tj(a) = soma de todas as colunas e sumi=1^m si = sumj=1^n tj :
s1 + s2 + ldots + sm - t1 - t2 - ldots - tn = 0
Em uma matriz , a soma de todas as linhas é igual à soma de todas as colunas, pois ambos calculam a soma de todos os elementos da matriz. Portanto:
Rearranjando os termos:
Isso mostra que existe uma combinação linear não trivial das funções que resulta na função zero, provando que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

Agora, vamos provar que o subconjunto c1 s1 + c2 s2 + ldots + cm-1 sm-1 + d1 t1 + ldots + dn tn = 0 é linearmente independente. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Devemos mostrar que todos os coeficientes e são zero.

Passo 5

Consideremos uma matriz c1 s1(a) + ldots + cm-1 sm-1(a) + d1 t1(a) + ldots + dn tn(a) = 0 com todas as entradas iguais a zero, exceto a entrada na posição ci + dj = 0 que é 1. Vamos aplicar essa matriz à combinação linear:
Como tem apenas um elemento 1 na posição , temos:
  • se e 0 caso contrário.
  • se e 0 caso contrário.
Então, a equação fica:
Isso deve ser válido para qualquer e , o que implica que todos os e devem ser zero para satisfazer a equação.

Passo 6

Como mostramos que a única solução para a combinação linear igual a zero é que todos os coeficientes sejam zero, concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

As funções são linearmente dependentes no espaço , e o conjunto é linearmente independente.

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