Para
e
, sejam
as funções definidas por
soma dos elementos da i-ésima linha de
e
soma dos elementos da j-ésima coluna de a. Prove que
são L.D. no espaço vetorial
mas o conjunto
é L.I. .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos funções que somam os elementos das linhas e das colunas de uma matriz de dimensão
. Especificamente,
soma os elementos da i-ésima linha e
soma os elementos da j-ésima coluna. O objetivo é mostrar duas coisas:
- Que todas essas funções
são linearmente dependentes no espaço vetorial . - Que, se retirarmos uma das funções
, ou seja, considerarmos , esse conjunto passa a ser linearmente independente.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear, dependência e independência linear, além de como essas funções se relacionam no espaço vetorial dado.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que significa um conjunto de funções ser linearmente dependente. Isso quer dizer que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero, ou seja:
onde nem todos os coeficientes
e
são zero. Se esse tipo de relação existir, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos mostrar que todas as funções
são linearmente dependentes. Para isso, consideremos a soma de todas as funções
e
:
Em uma matriz
, a soma de todas as linhas é igual à soma de todas as colunas, pois ambos calculam a soma de todos os elementos da matriz. Portanto:
Rearranjando os termos:
Isso mostra que existe uma combinação linear não trivial das funções que resulta na função zero, provando que o conjunto é linearmente dependente.
Passo 4
Agora, vamos provar que o subconjunto
é linearmente independente. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Devemos mostrar que todos os coeficientes
e
são zero.
Passo 5
Consideremos uma matriz
com todas as entradas iguais a zero, exceto a entrada na posição
que é 1. Vamos aplicar essa matriz à combinação linear:
Como
tem apenas um elemento 1 na posição
, temos:
-
se e 0 caso contrário. -
se e 0 caso contrário.
Então, a equação fica:
Isso deve ser válido para qualquer
e
, o que implica que todos os
e
devem ser zero para satisfazer a equação.
Passo 6
Como mostramos que a única solução para a combinação linear igual a zero é que todos os coeficientes sejam zero, concluímos que o conjunto
é linearmente independente.
Resposta
As funções
são linearmente dependentes no espaço
, e o conjunto
é linearmente independente.
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Ache uma seqüência infinita
de subespaços vetoriais de
tais que: (a)
; (b)
se
.
Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e daí calcule sua dimensão:
(a) polinômios pares de grau .
(b) polinômios ímpares de grau .
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e
.
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(a) polinômios pares de grau
(b) polinômios ímpares de grau
© polinômios de grau
(d) vetores de
Todas as entradas de uma matriz triangular superior são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.
Se
e
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tais que
é simétrica, então
e
são simétricas.