Todas as entradas de uma matriz triangular superior são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.
Passo 1
Vamos primeiro entender o que o enunciado está dizendo. A questão fala sobre matrizes triangulares superiores, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Precisamos compreender como as entradas dessas matrizes são determinadas, especialmente aquelas que estão na diagonal principal e acima dela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz quadrada é dita triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, apenas os elementos na diagonal principal e acima dela podem ter valores diferentes de zero.
Matematicamente, para uma matriz de ordem , ela é triangular superior se:
Isso significa que, para cada linha , os elementos com são zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como isso determina todas as entradas da matriz. Como os elementos abaixo da diagonal são zeros, as únicas entradas que precisamos definir para conhecer toda a matriz são:
Diagonal Principal: Onde . Estes elementos são importantes porque determinam a “forma” da matriz.
Acima da Diagonal Principal: Onde . Estes elementos podem ser quaisquer números.
Portanto, se soubermos os valores na diagonal principal e acima dela, já sabemos todos os elementos da matriz, já que os demais são zero.
Passo 4
Vamos ilustrar isso com um exemplo simples. Considere uma matriz :
Aqui, os elementos abaixo da diagonal principal () são todos zero. Portanto, os únicos elementos que determinam toda a matriz são e .
Passo 5
Essa característica simplifica muitos cálculos em álgebra linear, como a determinação do determinante ou a resolução de sistemas lineares, já que trabalhar com matrizes triangulares é mais fácil devido à quantidade reduzida de elementos não nulos.
Resposta
Todas as entradas de uma matriz triangular superior são completamente determinadas pelos elementos da diagonal principal e pelos elementos acima dela, já que os elementos abaixo da diagonal são zero.