Ache a série de Fourier de f(x), determine soma da série e faça os gráficos de f e da função soma da série encontrada: f(x) = { a x, -pi < x <= 0; b x, 0 < x <= pi }

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função f(x) definida por partes no intervalo :
Queremos encontrar a série de Fourier dessa função, determinar a soma da série e, por fim, fazer os gráficos de f(x) e da soma da série encontrada. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de séries de Fourier, especialmente como expandir funções periódicas em séries trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função f(x) é definida em um intervalo , o que sugere que estamos lidando com uma função periódica com período . As séries de Fourier são usadas para representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos. Assim, nossa meta é expressar f(x) nessa forma.

Passo 3

Vamos analisar a simetria da função f(x). Se , a função é ímpar, ou seja, . Se , a função é par, ou seja, . Para simplificar, vamos considerar que , tornando f(x) uma função ímpar. Isso nos permitirá usar propriedades das séries de Fourier para funções ímpares.

Passo 4

Para funções ímpares definidas no intervalo , a série de Fourier contém apenas termos de seno, já que os termos de cosseno correspondem à parte par da função, que neste caso é zero. A série de Fourier para uma função ímpar é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . Como f(x) é ímpar e , temos:
Portanto, os coeficientes ficam:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a pi:
Note que para todo inteiro n.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Como , temos:

Passo 9

Portanto, a série de Fourier da função f(x) é:

Passo 10

A soma da série de Fourier representa a própria função f(x) nos pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites laterais. Graficamente, o gráfico da soma da série de Fourier vai se aproximar do gráfico da função original f(x) à medida que adicionamos mais termos na série.

Resposta

A série de Fourier da função f(x) é:
Essa série converge para a própria função f(x) nos pontos de continuidade e para a média dos limites nos pontos de descontinuidade. Os gráficos de f(x) e da soma da série de Fourier mostrarão como a série se aproxima da função original à medida que mais termos são incluídos.

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