Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes no intervalo :
Queremos encontrar a série de Fourier dessa função, determinar a soma da série e, por fim, fazer os gráficos de e da soma da série encontrada. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de séries de Fourier, especialmente como expandir funções periódicas em séries trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função é definida em um intervalo , o que sugere que estamos lidando com uma função periódica com período . As séries de Fourier são usadas para representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos. Assim, nossa meta é expressar nessa forma.

Passo 3

Vamos analisar a simetria da função . Se , a função é ímpar, ou seja, . Se , a função é par, ou seja, . Para simplificar, vamos considerar que , tornando uma função ímpar. Isso nos permitirá usar propriedades das séries de Fourier para funções ímpares.

Passo 4

Para funções ímpares definidas no intervalo , a série de Fourier contém apenas termos de seno, já que os termos de cosseno correspondem à parte par da função, que neste caso é zero. A série de Fourier para uma função ímpar é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . Como é ímpar e , temos:
Portanto, os coeficientes ficam:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Note que para todo inteiro .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Como , temos:

Passo 9

Portanto, a série de Fourier da função é:

Passo 10

A soma da série de Fourier representa a própria função nos pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites laterais. Graficamente, o gráfico da soma da série de Fourier vai se aproximar do gráfico da função original à medida que adicionamos mais termos na série.

Resposta

A série de Fourier da função é:
Essa série converge para a própria função nos pontos de continuidade e para a média dos limites nos pontos de descontinuidade. Os gráficos de e da soma da série de Fourier mostrarão como a série se aproxima da função original à medida que mais termos são incluídos.

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Calcule o fluxo de através da superfície em cada caso, ou seja calcule .
, onde é a parte do cone que está entre os planos e com orientação ascendente.
Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas: