Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por partes no intervalo
:
Queremos encontrar a série de Fourier dessa função, determinar a soma da série e, por fim, fazer os gráficos de
e da soma da série encontrada. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de séries de Fourier, especialmente como expandir funções periódicas em séries trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
é definida em um intervalo
, o que sugere que estamos lidando com uma função periódica com período
. As séries de Fourier são usadas para representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos. Assim, nossa meta é expressar
nessa forma.
Passo 3
Vamos analisar a simetria da função
. Se
, a função é ímpar, ou seja,
. Se
, a função é par, ou seja,
. Para simplificar, vamos considerar que
, tornando
uma função ímpar. Isso nos permitirá usar propriedades das séries de Fourier para funções ímpares.
Passo 4
Para funções ímpares definidas no intervalo
, a série de Fourier contém apenas termos de seno, já que os termos de cosseno correspondem à parte par da função, que neste caso é zero. A série de Fourier para uma função ímpar é dada por:
onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. Como
é ímpar e
, temos:
Portanto, os coeficientes ficam:
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Note que
para todo inteiro
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
:
Como
, temos:
Passo 9
Portanto, a série de Fourier da função
é:
Passo 10
A soma da série de Fourier representa a própria função
nos pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites laterais. Graficamente, o gráfico da soma da série de Fourier vai se aproximar do gráfico da função original
à medida que adicionamos mais termos na série.
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Essa série converge para a própria função
nos pontos de continuidade e para a média dos limites nos pontos de descontinuidade. Os gráficos de
e da soma da série de Fourier mostrarão como a série se aproxima da função original à medida que mais termos são incluídos.
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Calcule o fluxo de
através da superfície
em cada caso, ou seja calcule
.
, onde
é uma esfera de raio
com orientação positiva.
Calcule o fluxo de
através da superfície
em cada caso, ou seja calcule
.
, onde
é a parte do cone
que está entre os planos
e
com orientação ascendente.
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas: