Calcule o fluxo de
através da superfície
em cada caso, ou seja calcule
.
, onde
é uma esfera de raio
com orientação positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é uma esfera de raio
com orientação positiva. Isso está relacionado com o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente o estudo de fluxo através de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, saber calcular integrais de superfície e conhecer propriedades de campos vetoriais simétricos, como o que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representa o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo
basicamente mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície
. Matematicamente, isso envolve integrar o produto escalar do campo
com o vetor área diferencial
em toda a superfície.
Passo 3
Nosso campo vetorial é
. Observamos que esse campo é radial e tem uma simetria esférica, o que nos facilita a aplicação de algumas propriedades. Além disso, a superfície
é uma esfera de raio
, também com simetria esférica.
Passo 4
Vamos parametrizar a esfera
. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera de raio
pode ser representado como
, onde
varia de
a
e
de
a
. O vetor área diferencial
para uma esfera é dado por
, onde
é o vetor normal à superfície na direção radial.
Passo 5
Como o campo
é radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição
, e a esfera tem normal radial, o produto escalar
simplifica-se para
. Vamos calcular esse produto.
Passo 6
Calculando
:
Já que
na superfície
. E
.
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos integrar
sobre a superfície
:
Como
é constante, podemos tirar da integral:
A integral da área
sobre a esfera de raio
é a área da esfera, que é
.
Passo 8
Substituindo:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo de
através da superfície
em cada caso, ou seja calcule
.
, onde
é a parte do cone
que está entre os planos
e
com orientação ascendente.
Cálcule a integral de superfície.
, onde
é a parte do cilindro
que está entre os planos
e
no primeiro octante.
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada: