Calcule o fluxo de F através da superfície U em cada caso, ou seja calcule integral duplaU F cdot d S.
F(x, y, z)=(x, y, z)|(x, y, z)|^3, onde U é uma esfera de raio R com orientação positiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é uma esfera de raio com orientação positiva. Isso está relacionado com o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente o estudo de fluxo através de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, saber calcular integrais de superfície e conhecer propriedades de campos vetoriais simétricos, como o que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo basicamente mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície . Matematicamente, isso envolve integrar o produto escalar do campo com o vetor área diferencial em toda a superfície.

Passo 3

Nosso campo vetorial é . Observamos que esse campo é radial e tem uma simetria esférica, o que nos facilita a aplicação de algumas propriedades. Além disso, a superfície é uma esfera de raio , também com simetria esférica.

Passo 4

Vamos parametrizar a esfera . Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera de raio pode ser representado como , onde varia de a e de a . O vetor área diferencial para uma esfera é dado por , onde é o vetor normal à superfície na direção radial.

Passo 5

Como o campo é radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição , e a esfera tem normal radial, o produto escalar simplifica-se para . Vamos calcular esse produto.

Passo 6

Calculando F = (x, y, z)(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 = (x, y, z)R^3 :
F cdot n = (x, y, z)R^3 cdot (x, y, z)R = R^2R^4 = 1R^2
Já que na superfície . E .
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos integrar integral duplaU F cdot dS = integral duplaU 1R^2 , dS sobre a superfície 1R^2 integral duplaU dS :
Como é constante, podemos tirar da integral:
A integral da área sobre a esfera de raio é a área da esfera, que é .

Passo 8

Substituindo:
1R^2 times 4pi R^2 = 4pi

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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