Calcule o fluxo de F através da superfície U em cada caso, ou seja calcule integral duplaU F cdot d S.
F(x, y, z)=(-x,-y, z^2), onde U é a parte do cone z=raizx^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=3 com orientação ascendente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone entre os planos e . Esse tipo de problema está na área de Cálculo Vetorial, especificamente em integrais de superfície e fluxo de campos vetoriais. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e calcular a integral de fluxo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone. O cone é dado por x = r cos theta y = r sin theta z = r . Uma forma prática de parametrizar esse tipo de superfície é usando coordenadas cilíndricas. Então, vamos definir:
Aqui, varia de 1 a 3 (já que vai de 1 a 3) e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície para calcular o fluxo. Na parametrização cilíndrica, os vetores tangentes são as derivadas parciais em relação a rr = ( cos theta, sin theta, 1 ) rtheta = ( -r sin theta, r cos theta, 0 ) e n = rr times rtheta = ( -cos theta, -sin theta, r ) :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a orientação é ascendente, verificamos que o componente do vetor normal está positivo, então está tudo certo.

Passo 4

O próximo passo é expressar o campo vetorial F(r, theta) = ( -r cos theta, -r sin theta, r^2 ) na parametrização que escolhemos. Substituindo F cdot n = (-r cos theta)(- cos theta) + (-r sin theta)(- sin theta) + (r^2)(r) = r cos^2 theta + r sin^2 theta + r^3 , F cdot n = r (cos^2 theta + sin^2 theta) + r^3 = r (1) + r^3 = r + r^3 e :
Agora, precisamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, vamos montar a integral de fluxo. A área diferencial na parametrização cilíndrica é dada por integral duplaU F cdot dS = integral0^2pi integral1^3 (r + r^3) dr dtheta . No nosso caso, já incorporamos o vetor normal na expressão do fluxo, então a integral fica:
Vamos resolver essa integral dupla.

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral1^3 (r + r^3) dr = [ r^22 + r^44 ]1^3 = ( 92 + 814 ) - ( 12 + 14 ) = ( 184 + 814 ) - ( 24 + 14 ) = 994 - 34 = 964 = 24 :

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa em relação a integral0^2pi 24 dtheta = 24 times 2pi = 48pi :

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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