Calcule o fluxo de através da superfície em cada caso, ou seja calcule . , onde é a parte do cone que está entre os planos e com orientação ascendente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone entre os planos e . Esse tipo de problema está na área de Cálculo Vetorial, especificamente em integrais de superfície e fluxo de campos vetoriais. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e calcular a integral de fluxo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone. O cone é dado por . Uma forma prática de parametrizar esse tipo de superfície é usando coordenadas cilíndricas. Então, vamos definir:
Aqui, varia de 1 a 3 (já que vai de 1 a 3) e varia de 0 a .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície para calcular o fluxo. Na parametrização cilíndrica, os vetores tangentes são as derivadas parciais em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como a orientação é ascendente, verificamos que o componente do vetor normal está positivo, então está tudo certo.
Passo 4
O próximo passo é expressar o campo vetorial na parametrização que escolhemos. Substituindo , e :
Agora, precisamos calcular o produto escalar :
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, vamos montar a integral de fluxo. A área diferencial na parametrização cilíndrica é dada por . No nosso caso, já incorporamos o vetor normal na expressão do fluxo, então a integral fica:
Vamos resolver essa integral dupla.
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa em relação a :