Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função no intervalo , onde não é um número inteiro. A matéria envolvida aqui é a série de Fourier, que permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier e expressar a série resultante.

Passo 2

A série de Fourier de uma função periódica no intervalo é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente constante.
  • são os coeficientes dos cossenos.
  • são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o coeficiente :
Calculando a integral:
Porque .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Usando a identidade trigonométrica:
Integrando:
Porque a integral de funções ímpares em intervalos simétricos é zero.

Passo 5

Agora, calculamos os coeficientes :
Usando a identidade trigonométrica:
Integrando:
As integrais de cossenos não constantes em intervalos completos de são zero, portanto:

Passo 6

Observamos que todos os coeficientes e são zero. Isso significa que a série de Fourier da função é simplesmente a própria função:

Resposta

Exercícios relacionados

Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:
Calcule o fluxo de através da superfície em cada caso, ou seja calcule .
, onde é uma esfera de raio com orientação positiva.
Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas:
Mostre que: sen ;