Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função
no intervalo
, onde
não é um número inteiro. A matéria envolvida aqui é a série de Fourier, que permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier e expressar a série resultante.
Passo 2
A série de Fourier de uma função periódica
no intervalo
é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente constante. -
são os coeficientes dos cossenos. -
são os coeficientes dos senos.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
:
Calculando a integral:
Porque
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Usando a identidade trigonométrica:
Integrando:
Porque a integral de funções ímpares em intervalos simétricos é zero.
Passo 5
Agora, calculamos os coeficientes
:
Usando a identidade trigonométrica:
Integrando:
As integrais de cossenos não constantes em intervalos completos de
são zero, portanto:
Passo 6
Observamos que todos os coeficientes
e
são zero. Isso significa que a série de Fourier da função
é simplesmente a própria função:
Resposta
Exercícios relacionados
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Calcule o fluxo de
através da superfície
em cada caso, ou seja calcule
.
, onde
é uma esfera de raio
com orientação positiva.
Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Mostre que:
sen
;