Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas:

Passo 1

Entendendo o Problema:
Temos a função definida no intervalo . Precisamos encontrar:
  1. A série de Fourier de senos de .
  2. A série de Fourier de cossenos de .
  3. Determinar a soma de cada uma dessas séries.
  4. Fazer os gráficos de e das somas das séries encontradas.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos calcular os coeficientes necessários para cada série e depois somá-los. Vamos por partes!

Passo 2

Série de Fourier de Senos:
A série de Fourier de senos é usada para representar funções ímpares em relação ao eixo . Como é uma função par (ou seja, ), sua série de senos será composta apenas por termos que cancelam, resultando em zero. Mas vamos verificar isso.
A fórmula geral da série de senos é:
No nosso caso, , então:
Onde os coeficientes são dados por:

Passo 3

Calculando os Coeficientes :
Vamos calcular :
Essa integral envolve integração por partes. Porém, como é par e é ímpar, o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno da origem é zero. Como nosso intervalo pode ser estendido para por simetria, concluímos que todos os coeficientes .

Passo 4

Conclusão da Série de Senos:
Como todos os coeficientes , a série de Fourier de senos para é simplesmente:
Ou seja, não há termos de senos na representação dessa função, já que ela é par.

Passo 5

Série de Fourier de Cossenos:
Agora, vamos encontrar a série de Fourier de cossenos, que é adequada para funções pares. A fórmula geral é:
Onde os coeficientes são calculados por:

Passo 6

Calculando o Coeficiente :
Primeiro, vamos calcular :

Passo 7

Calculando os Coeficientes :
Agora, vamos calcular para :
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes duas vezes. Vamos aplicar os passos:
  1. Primeira Integração por Partes:
    Seja e .
    Então, e .
    Aplicando:
  2. Segunda Integração por Partes:
    Agora, resolvemos .
    Seja e .
    Então, e .
    Aplicando:
  3. Substituindo de Volta:
  4. Avaliando os Limites:
    Ao substituir e , observamos que os termos envolvendo e se anulam (já que para inteiro ), restando:
    Como , podemos escrever:

Passo 8

Expressando a Série de Fourier de Cossenos:
Agora, juntando e , temos:

Passo 9

Determinação das Somatórias:
Para a série de cossenos:
Essa série é condicionalmente convergente e representa a função . Portanto, a soma da série de Fourier de cossenos é:

Passo 10

Desenhando os Gráficos:
Para visualizar:
  1. Gráfico de : É uma parábola que abre para cima.
  2. Gráfico da Série de Cossenos: Será uma aproximação em série de , começando com e adicionando os termos oscilatórios dos cossenos.
Você pode usar softwares como GeoGebra, Desmos ou Matplotlib em Python para plotar esses gráficos e comparar a função original com a soma das séries.

Resposta

A série de Fourier de cossenos de no intervalo é:
Já a série de Fourier de senos é simplesmente zero:
Os gráficos de e da soma da série de cossenos mostram que a série converge para a função original à medida que mais termos são adicionados.

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Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:
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Mostre que: sen ;
Obtenha a série de Fourier da função ímpar , periódica de período 4 , e que satisfaça se e se .