Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Passo 1
Entendendo o Problema:
Temos a função
definida no intervalo
. Precisamos encontrar:
- A série de Fourier de senos de
. - A série de Fourier de cossenos de
. - Determinar a soma de cada uma dessas séries.
- Fazer os gráficos de
e das somas das séries encontradas.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos calcular os coeficientes necessários para cada série e depois somá-los. Vamos por partes!
Passo 2
Série de Fourier de Senos:
A série de Fourier de senos é usada para representar funções ímpares em relação ao eixo
. Como
é uma função par (ou seja,
), sua série de senos será composta apenas por termos que cancelam, resultando em zero. Mas vamos verificar isso.
A fórmula geral da série de senos é:
No nosso caso,
, então:
Onde os coeficientes
são dados por:
Passo 3
Calculando os Coeficientes
:
Vamos calcular
:
Essa integral envolve integração por partes. Porém, como
é par e
é ímpar, o produto
é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno da origem é zero. Como nosso intervalo
pode ser estendido para
por simetria, concluímos que todos os coeficientes
.
Passo 4
Conclusão da Série de Senos:
Como todos os coeficientes
, a série de Fourier de senos para
é simplesmente:
Ou seja, não há termos de senos na representação dessa função, já que ela é par.
Passo 5
Série de Fourier de Cossenos:
Agora, vamos encontrar a série de Fourier de cossenos, que é adequada para funções pares. A fórmula geral é:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 6
Calculando o Coeficiente
:
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 7
Calculando os Coeficientes
:
Agora, vamos calcular
para
:
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes duas vezes. Vamos aplicar os passos:
-
Primeira Integração por Partes:Seja
e . Então,e . Aplicando: -
Segunda Integração por Partes:Agora, resolvemos
. Sejae . Então,e . Aplicando: -
Substituindo de Volta:
-
Avaliando os Limites:Ao substituir
e , observamos que os termos envolvendo e se anulam (já que para inteiro ), restando: Como, podemos escrever:
Passo 8
Expressando a Série de Fourier de Cossenos:
Agora, juntando
e
, temos:
Passo 9
Determinação das Somatórias:
Para a série de cossenos:
Essa série é condicionalmente convergente e representa a função
. Portanto, a soma da série de Fourier de cossenos é:
Passo 10
Desenhando os Gráficos:
Para visualizar:
-
Gráfico de
: É uma parábola que abre para cima. -
Gráfico da Série de Cossenos: Será uma aproximação em série de
, começando com e adicionando os termos oscilatórios dos cossenos.
Você pode usar softwares como GeoGebra, Desmos ou Matplotlib em Python para plotar esses gráficos e comparar a função original com a soma das séries.
Resposta
A série de Fourier de cossenos de
no intervalo
é:
Já a série de Fourier de senos é simplesmente zero:
Os gráficos de
e da soma da série de cossenos mostram que a série converge para a função original
à medida que mais termos são adicionados.
Exercícios relacionados
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Mostre que:
sen
;
Obtenha a série de Fourier da função ímpar
, periódica de período 4 , e que satisfaça
se
e
se
.