Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
, determinar a soma dessa série e fazer os gráficos da função original
e da soma da série encontrada. A função que a gente tem é definida por:
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que são úteis para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a série de Fourier de uma função par periódica no intervalo
a
pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são coeficientes que vamos calcular.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo:
Integramos
de
a
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que são os coeficientes dos cossenos:
Como
é uma função por partes, vamos dividir a integral.
Passo 6
Calculando
:
Integrando cada parte:
Aplicando os limites:
Como
e
:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que são os coeficientes dos senos:
Novamente, dividimos a integral.
Passo 8
Calculando
:
Integrando cada parte:
Aplicando os limites:
Simplificando
e
:
Como
:
Passo 9
Então, a série de Fourier da função
fica:
Simplificando:
Passo 10
Para determinar a soma da série de Fourier, observamos que a série converge para a função original
em pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a soma da série é a média dos limites laterais.
Passo 11
Por fim, para fazer os gráficos de
e da soma da série de Fourier, podemos usar ferramentas como o Excel, MATLAB ou softwares de plotagem online. O gráfico de
será uma onda quadrada com valores
e
, e o gráfico da soma da série será uma aproximação dessa onda quadrada, conhecida como “Gibbs phenomenon”, onde ocorre uma oscilação próxima às descontinuidades.
Resposta
A série de Fourier de
é dada por:
A soma da série converge para
nas regiões contínuas da função, e os gráficos de
e da soma da série mostram a aproximação da série de Fourier à função original, evidenciando o fenômeno de Gibbs nas descontinuidades.
Exercícios relacionados
Encontre
tais que
Obtenha a série de Fourier da função ímpar
, periódica de período 4 , e que satisfaça
se
e
se
.
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas: