Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função , determinar a soma dessa série e fazer os gráficos da função original e da soma da série encontrada. A função que a gente tem é definida por:
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que são úteis para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a série de Fourier de uma função par periódica no intervalo a pode ser escrita como:
Aqui, , e são coeficientes que vamos calcular.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Integramos de a .

Passo 4

Vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes dos cossenos:
Como é uma função por partes, vamos dividir a integral.

Passo 6

Calculando :
Integrando cada parte:
Aplicando os limites:
Como e :

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes dos senos:
Novamente, dividimos a integral.

Passo 8

Calculando :
Integrando cada parte:
Aplicando os limites:
Simplificando e :
Como :

Passo 9

Então, a série de Fourier da função fica:
Simplificando:

Passo 10

Para determinar a soma da série de Fourier, observamos que a série converge para a função original em pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a soma da série é a média dos limites laterais.

Passo 11

Por fim, para fazer os gráficos de e da soma da série de Fourier, podemos usar ferramentas como o Excel, MATLAB ou softwares de plotagem online. O gráfico de será uma onda quadrada com valores e , e o gráfico da soma da série será uma aproximação dessa onda quadrada, conhecida como “Gibbs phenomenon”, onde ocorre uma oscilação próxima às descontinuidades.

Resposta

A série de Fourier de é dada por:
A soma da série converge para nas regiões contínuas da função, e os gráficos de e da soma da série mostram a aproximação da série de Fourier à função original, evidenciando o fenômeno de Gibbs nas descontinuidades.

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Encontre tais que
Obtenha a série de Fourier da função ímpar , periódica de período 4 , e que satisfaça se e se .
Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas: