Obtenha a série de Fourier da função ímpar , periódica de período 4 , e que satisfaça se e se .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a série de Fourier da função ímpar que é periódica com período 4. A função é definida por:
para
para
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de série de Fourier para funções ímpares, que envolve apenas os termos de seno. Precisaremos calcular os coeficientes da série utilizando integrais apropriadas.
Passo 2
Como a função é ímpar e tem período 4, podemos considerar a expansão em série de seno com funções de frequência múltiplas de . A série de Fourier para uma função ímpar de período é dada por:
Neste caso, o período é 4, então , e a série se torna:
Passo 3
Os coeficientes são calculados pela fórmula:
Substituindo :
Passo 4
Vamos dividir a integral em dois intervalos, conforme a definição de :
Como é ímpar e , podemos simplificar os cálculos:
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
Usando a integração por partes, onde e , temos e . Aplicando a fórmula:
Calculando os limites e a segunda integral:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda integral:
Fazendo a substituição , quando , ; quando , . Assim:
Observamos que . Portanto, o coeficiente fica:
Passo 7
Simplificando a expressão para :
Podemos reescrever em termos de funções trigonométricas básicas.
Resposta
A série de Fourier da função ímpar com período 4 é dada por: