Obtenha a série de Fourier da função ímpar , periódica de período 4 , e que satisfaça se e se .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos encontrar a série de Fourier da função ímpar que é periódica com período 4. A função é definida por:
  • para
  • para
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de série de Fourier para funções ímpares, que envolve apenas os termos de seno. Precisaremos calcular os coeficientes da série utilizando integrais apropriadas.

Passo 2

Como a função é ímpar e tem período 4, podemos considerar a expansão em série de seno com funções de frequência múltiplas de . A série de Fourier para uma função ímpar de período é dada por:
Neste caso, o período é 4, então , e a série se torna:

Passo 3

Os coeficientes são calculados pela fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Vamos dividir a integral em dois intervalos, conforme a definição de :
Como é ímpar e , podemos simplificar os cálculos:

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral:
Usando a integração por partes, onde e , temos e . Aplicando a fórmula:
Calculando os limites e a segunda integral:

Passo 6

Agora, calculamos a segunda integral:
Fazendo a substituição , quando , ; quando , . Assim:
Observamos que . Portanto, o coeficiente fica:

Passo 7

Simplificando a expressão para :
Podemos reescrever em termos de funções trigonométricas básicas.

Resposta

A série de Fourier da função ímpar com período 4 é dada por:

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