Encontre
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os coeficientes
de uma série de senos que, quando somados, resultam na função dada. A matéria que vamos usar é Séries de Fourier, especificamente a série de seno, que serve para representar funções periódicas de forma aproximada usando senos. Vamos precisar calcular integrais para encontrar esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo em que a função está definida. A função
é definida de
a
, sendo:
Como vamos usar uma série de senos com argumentos
, isso sugere que estamos trabalhando no intervalo
.
Passo 3
A fórmula geral para os coeficientes
de uma série de senos na forma dada é:
Aqui,
, então:
Passo 4
Como a função
é definida de forma diferente no intervalo
e
, vamos dividir a integral nesses dois intervalos:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para simplificar, vamos chamar
. Assim, as integrais ficam:
Essas integrais podem ser calculadas por partes.
Passo 6
Calculando a primeira integral:
Continuando:
Avaliar de
a
dá:
Passo 7
Fazendo o mesmo para a segunda integral:
Continuando:
Avaliar de
a
dá:
Passo 8
Após calcular ambas as integrais e somar os resultados, vamos simplificar a expressão resultante para encontrar
. Isso envolve substituir os limites de integração e simplificar as expressões trigonométricas.
Passo 9
Após simplificar, obtemos a expressão geral para os coeficientes
. O processo envolve alguma álgebra e manipulação de termos trigonométricos, mas o resultado final será uma fórmula que depende de
.
Resposta
Os coeficientes
são dados por:
Isso significa que apenas os termos com
ímpar terão coeficiente diferente de zero, e os coeficientes diminuem proporcionalmente a
.
Exercícios relacionados
Obtenha a série de Fourier da função ímpar
, periódica de período 4 , e que satisfaça
se
e
se
.
Mostre que:
sen
;
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada: