Encontre tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os coeficientes de uma série de senos que, quando somados, resultam na função dada. A matéria que vamos usar é Séries de Fourier, especificamente a série de seno, que serve para representar funções periódicas de forma aproximada usando senos. Vamos precisar calcular integrais para encontrar esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo em que a função está definida. A função é definida de a , sendo:
Como vamos usar uma série de senos com argumentos , isso sugere que estamos trabalhando no intervalo .

Passo 3

A fórmula geral para os coeficientes de uma série de senos na forma dada é:
Aqui, , então:

Passo 4

Como a função é definida de forma diferente no intervalo e , vamos dividir a integral nesses dois intervalos:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para simplificar, vamos chamar . Assim, as integrais ficam:
Essas integrais podem ser calculadas por partes.

Passo 6

Calculando a primeira integral:
Continuando:
Avaliar de a dá:

Passo 7

Fazendo o mesmo para a segunda integral:
Continuando:
Avaliar de a dá:

Passo 8

Após calcular ambas as integrais e somar os resultados, vamos simplificar a expressão resultante para encontrar . Isso envolve substituir os limites de integração e simplificar as expressões trigonométricas.

Passo 9

Após simplificar, obtemos a expressão geral para os coeficientes . O processo envolve alguma álgebra e manipulação de termos trigonométricos, mas o resultado final será uma fórmula que depende de .

Resposta

Os coeficientes são dados por:
Isso significa que apenas os termos com ímpar terão coeficiente diferente de zero, e os coeficientes diminuem proporcionalmente a .

Exercícios relacionados

Obtenha a série de Fourier da função ímpar , periódica de período 4 , e que satisfaça se e se .
Mostre que: sen ;
Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:
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