Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a série de Fourier da função
no intervalo
, determinar a soma dessa série e fazer os gráficos de
e da soma da série. Vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para isso, precisamos calcular os coeficientes da série de Fourier para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função par no intervalo
é dada por:
Como
não é uma função par nem ímpar, teremos tanto termos de cosseno quanto de seno. Para encontrar os coeficientes
e
, usamos as fórmulas:
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
primeiro:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração de
:
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Calculando os valores nos limites:
Sabemos que
e
. Além disso,
para todo inteiro
. Então simplifica para:
E como
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o coeficiente
:
Usando uma fórmula similar para integração:
Aplicando os limites de integração:
Como
e
, simplificamos para:
E novamente
, então:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a série de Fourier completa:
O termo
é dado por:
Então:
Passo 7
Para determinar a soma da série de Fourier, notamos que a série converge para
no intervalo considerado devido à natureza da função e à convergência das séries de Fourier para funções suaves. Portanto, a soma da série de Fourier que encontramos é igual a
.
Passo 8
Finalmente, para os gráficos, você pode usar softwares como MATLAB, Python (com matplotlib) ou qualquer outro programa de plotagem para desenhar
e a soma da série de Fourier no intervalo
. Isso ajudará a visualizar como a série de Fourier aproxima a função original.
Resposta
A série de Fourier de
no intervalo
é dada por:
A soma dessa série é igual a
. Para os gráficos, utilize um software de plotagem para visualizar
e a soma da série de Fourier no intervalo especificado.
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Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Encontre
tais que
Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada: