Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a série de Fourier da função no intervalo , determinar a soma dessa série e fazer os gráficos de e da soma da série. Vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para isso, precisamos calcular os coeficientes da série de Fourier para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função par no intervalo é dada por:
Como não é uma função par nem ímpar, teremos tanto termos de cosseno quanto de seno. Para encontrar os coeficientes e , usamos as fórmulas:

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente primeiro:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração de :
Aplicando os limites de integração:

Passo 4

Calculando os valores nos limites:
Sabemos que e . Além disso, para todo inteiro . Então simplifica para:
E como , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o coeficiente :
Usando uma fórmula similar para integração:
Aplicando os limites de integração:
Como e , simplificamos para:
E novamente , então:

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a série de Fourier completa:
O termo é dado por:
Então:

Passo 7

Para determinar a soma da série de Fourier, notamos que a série converge para no intervalo considerado devido à natureza da função e à convergência das séries de Fourier para funções suaves. Portanto, a soma da série de Fourier que encontramos é igual a .

Passo 8

Finalmente, para os gráficos, você pode usar softwares como MATLAB, Python (com matplotlib) ou qualquer outro programa de plotagem para desenhar e a soma da série de Fourier no intervalo . Isso ajudará a visualizar como a série de Fourier aproxima a função original.

Resposta

A série de Fourier de no intervalo é dada por:
A soma dessa série é igual a . Para os gráficos, utilize um software de plotagem para visualizar e a soma da série de Fourier no intervalo especificado.

Exercícios relacionados

Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:
Encontre tais que
Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas:
Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada: