Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de séries de Fourier! A gente precisa encontrar a série de Fourier de senos e cossenos para a função
no intervalo
. Além disso, temos que determinar a soma de cada uma dessas séries e fazer os gráficos de
e das somas que encontrarmos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, como calcular os coeficientes e aplicar as fórmulas adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são séries de Fourier. Elas nos permitem representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos. Existem duas formas principais: a série de senos e a série de cossenos. Cada uma tem sua própria aplicação dependendo das condições da função inicial.
Passo 3
Vamos começar encontrando a série de Fourier de senos para
. Para isso, precisamos calcular os coeficientes
na fórmula da série de senos:
Os coeficientes
são calculados usando a integral:
Passo 4
Vamos calcular
:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes:
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Então, a série de Fourier de senos para
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a série de Fourier de cossenos para a mesma função. A série de cossenos tem a forma:
Os coeficientes
são calculados por:
Passo 7
Calculando
:
Usando integração por partes:
Aplicando os limites de 0 a
:
Como
e
:
Passo 8
Portanto, a série de Fourier de cossenos para
é:
Para encontrar
, calculamos:
Substituindo na série:
Passo 9
Agora, vamos determinar a soma de cada uma das séries. Para a série de senos, a soma converge para
no intervalo
. O mesmo vale para a série de cossenos, onde a soma também converge para
nesse intervalo.
Passo 10
Finalmente, para os gráficos, você pode usar softwares como o MATLAB, Python (com matplotlib) ou até mesmo calculadoras gráficas para plotar
e as somas das séries de senos e cossenos. Vai ser interessante ver como as séries se aproximam da função original conforme adicionamos mais termos.
Resposta
A série de Fourier de senos para
é:
E a série de Fourier de cossenos é:
As somas dessas séries convergem para
no intervalo
. Os gráficos de
e das somas das séries podem ser plotados utilizando ferramentas apropriadas para visualizar a aproximação das séries à função original.
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, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
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e da função soma da série encontrada:
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e da função soma da série encontrada:
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, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas: