Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de séries de Fourier! A gente precisa encontrar a série de Fourier de senos e cossenos para a função no intervalo . Além disso, temos que determinar a soma de cada uma dessas séries e fazer os gráficos de e das somas que encontrarmos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, como calcular os coeficientes e aplicar as fórmulas adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são séries de Fourier. Elas nos permitem representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos. Existem duas formas principais: a série de senos e a série de cossenos. Cada uma tem sua própria aplicação dependendo das condições da função inicial.

Passo 3

Vamos começar encontrando a série de Fourier de senos para . Para isso, precisamos calcular os coeficientes na fórmula da série de senos:
Os coeficientes são calculados usando a integral:

Passo 4

Vamos calcular :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes:
Aplicando os limites de integração de 0 a :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Então, a série de Fourier de senos para é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a série de Fourier de cossenos para a mesma função. A série de cossenos tem a forma:
Os coeficientes são calculados por:

Passo 7

Calculando :
Usando integração por partes:
Aplicando os limites de 0 a :
Como e :

Passo 8

Portanto, a série de Fourier de cossenos para é:
Para encontrar , calculamos:
Substituindo na série:

Passo 9

Agora, vamos determinar a soma de cada uma das séries. Para a série de senos, a soma converge para no intervalo . O mesmo vale para a série de cossenos, onde a soma também converge para nesse intervalo.

Passo 10

Finalmente, para os gráficos, você pode usar softwares como o MATLAB, Python (com matplotlib) ou até mesmo calculadoras gráficas para plotar e as somas das séries de senos e cossenos. Vai ser interessante ver como as séries se aproximam da função original conforme adicionamos mais termos.

Resposta

A série de Fourier de senos para é:
E a série de Fourier de cossenos é:
As somas dessas séries convergem para no intervalo . Os gráficos de e das somas das séries podem ser plotados utilizando ferramentas apropriadas para visualizar a aproximação das séries à função original.

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