Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Fourier da função
no intervalo de
a
. A função é dada por:
Vamos utilizar os conceitos de série de Fourier, que nos permite representar uma função periódica como uma soma de funções seno e cosseno. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes
,
e
que definem a série.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo.
A fórmula para
é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função é definida:
Calculando cada integral:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que estão relacionados aos termos de cosseno na série.
A fórmula para
é:
Novamente, dividimos a integral nos intervalos definidos:
A primeira integral é zero, então ficamos com:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando:
Após calcular e simplificar, percebemos que, para
, os termos se anulam, então:
Passo 4
Vamos agora calcular os coeficientes
, que correspondem aos termos de seno na série.
A fórmula para
é:
Dividimos a integral novamente:
A primeira integral é zero, então temos:
Usamos a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso:
Integrando:
Após calcular e simplificar, observamos que, para
, os termos se anulam e para
:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é dada por:
Isso porque todos os coeficientes
e
além de
são zero. Então, a série de Fourier simplificada é: