Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
d) f(x) = { 0, -pi < x < 0; sen(x), 0 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a série de Fourier da função no intervalo de a . A função é dada por:
Vamos utilizar os conceitos de série de Fourier, que nos permite representar uma função periódica como uma soma de funções seno e cosseno. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes , e que definem a série.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo.
A fórmula para é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função é definida:
Calculando cada integral:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes , que estão relacionados aos termos de cosseno na série.
A fórmula para é:
Novamente, dividimos a integral nos intervalos definidos:
A primeira integral é zero, então ficamos com:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando:
Após calcular e simplificar, percebemos que, para , os termos se anulam, então:

Passo 4

Vamos agora calcular os coeficientes , que correspondem aos termos de seno na série.
A fórmula para é:
Dividimos a integral novamente:
A primeira integral é zero, então temos:
Usamos a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso:
Integrando:
Após calcular e simplificar, observamos que, para , os termos se anulam e para :

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é dada por:
Isso porque todos os coeficientes e além de são zero. Então, a série de Fourier simplificada é:

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