Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde é uma solução conhecida da equação diferencial.
(2) .
Rpt.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. A equação dada é:
E já nos deram uma solução conhecida dessa equação:
Para resolver essa equação, vamos precisar utilizar a solução conhecida e aplicar uma técnica de substituição para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação de Riccati. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, identificamos:
Sabendo disso, e tendo uma solução particular , podemos simplificar a equação usando uma substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Aqui, é uma nova função que vamos determinar. Substituindo na equação original:
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Primeiro, expandir o lado direito:
Simplificando:
Igualando aos dois lados da equação:
Cancelando os termos iguais:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para :
Podemos reescrever isso como:
Para resolver essa equação, vamos considerar que é uma função de e separar as variáveis ou usar um fator integrante. No entanto, para simplificar, observamos que essa equação pode ser resolvida integrando diretamente.
Integrando ambos os lados:
Isso nos leva a:
Onde é a constante de integração. Resolvendo para , obtemos uma expressão que, ao ser substituída de volta na expressão para , nos dá a solução geral.

Resposta

A solução geral da equação de Riccati dada é:
onde é uma constante arbitrária.

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a)
b)
c)
d)
e)
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f)
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