Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde
é uma solução conhecida da equação diferencial.
(2)
.
Rpt.
(2)
Rpt.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. A equação dada é:
E já nos deram uma solução conhecida dessa equação:
Para resolver essa equação, vamos precisar utilizar a solução conhecida
e aplicar uma técnica de substituição para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação de Riccati. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, identificamos:
Sabendo disso, e tendo uma solução particular
, podemos simplificar a equação usando uma substituição.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Aqui,
é uma nova função que vamos determinar. Substituindo
na equação original:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Primeiro, expandir o lado direito:
Simplificando:
Igualando aos dois lados da equação:
Cancelando os termos iguais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Podemos reescrever isso como:
Para resolver essa equação, vamos considerar que
é uma função de
e separar as variáveis ou usar um fator integrante. No entanto, para simplificar, observamos que essa equação pode ser resolvida integrando diretamente.
Integrando ambos os lados:
Isso nos leva a:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
, obtemos uma expressão que, ao ser substituída de volta na expressão para
, nos dá a solução geral.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati dada é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
f)
f)
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
d)
d)
Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.