Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para classificar cinco equações diferenciais quanto à ordem, grau e linearidade. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
- Ordem: é a maior derivada presente na equação.
- Grau: é o expoente da maior derivada, desde que a equação seja polinomial em relação a ela.
- Linearidade: uma equação é linear se as funções e suas derivadas aparecem na primeira potência e não são multiplicadas entre si.
Vamos analisar cada equação uma por uma!
Passo 2
a)
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão:
Ordem: A maior derivada aqui é
, que é de primeira ordem.
Grau: A equação é linear e a derivada está em primeiro grau, então o grau é 1.
Linearidade: Como a equação é da forma
, ela é linear.
Passo 3
b)
Ordem: A maior derivada é
, de segunda ordem.
Grau: As derivadas estão todas na primeira potência e a equação é polinomial, então o grau é 1.
Linearidade: A equação é linear porque pode ser escrita como:
Todas as funções e suas derivadas aparecem na primeira potência sem multiplicações entre elas.
Passo 4
c)
Ordem: A maior derivada é
, de terceira ordem.
Grau: O termo
tem a derivada
elevada ao quadrado, então o grau é 2.
Linearidade: A presença do termo
torna a equação não linear.
Passo 5
d)
Ordem: A maior derivada é
, de segunda ordem.
Grau: O termo
tem a derivada
elevada ao quadrado, então o grau é 2.
Linearidade: A presença do termo
torna a equação não linear.
Passo 6
e)
Primeiro, vamos expressar
como
para facilitar a análise.
Ordem: A maior derivada é
, de primeira ordem.
Grau: A equação contém uma raiz quadrada de
, que não é um polinômio em relação a
. Portanto, o grau não está definido para equações não polinomiais.
Linearidade: A presença da raiz quadrada faz com que a equação seja não linear.
Resposta
Classificações das equações:
a) Ordem: 1ª
Grau: 1
Linearidade: Linear
Grau: 1
Linearidade: Linear
b) Ordem: 2ª
Grau: 1
Linearidade: Linear
Grau: 1
Linearidade: Linear
c) Ordem: 3ª
Grau: 2
Linearidade: Não linear
Grau: 2
Linearidade: Não linear
d) Ordem: 2ª
Grau: 2
Linearidade: Não linear
Grau: 2
Linearidade: Não linear
e) Ordem: 1ª
Grau: Não definido
Linearidade: Não linear
Grau: Não definido
Linearidade: Não linear
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f)
f)
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d)
d)
Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde
é uma solução conhecida da equação diferencial.
(2) .
Rpt.
(2)
Rpt.
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
d)
d)