Classificar, quanto à ordem, o grau e a linearidade, as seguintes equações:
a) dy + (x * y - cos(x)) dx = 0
b) L d^2Q/dx^2 R * dQ/dx + Q/C = 0
c) y''' + x y'' + 2 y (y')^2 + x y = 0
d) d^2v/dx^2 + x(dv/dx)^2 + v = 0
e) raiz(rho' + rho) = sen(theta)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para classificar cinco equações diferenciais quanto à ordem, grau e linearidade. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
  • Ordem: é a maior derivada presente na equação.
  • Grau: é o expoente da maior derivada, desde que a equação seja polinomial em relação a ela.
  • Linearidade: uma equação é linear se as funções e suas derivadas aparecem na primeira potência e não são multiplicadas entre si.
Vamos analisar cada equação uma por uma!

Passo 2

a)

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão:
Ordem: A maior derivada aqui é , que é de primeira ordem.
Grau: A equação é linear e a derivada está em primeiro grau, então o grau é 1.
Linearidade: Como a equação é da forma , ela é linear.

Passo 3

b)

Ordem: A maior derivada é , de segunda ordem.
Grau: As derivadas estão todas na primeira potência e a equação é polinomial, então o grau é 1.
Linearidade: A equação é linear porque pode ser escrita como:
Todas as funções e suas derivadas aparecem na primeira potência sem multiplicações entre elas.

Passo 4

c)

Ordem: A maior derivada é , de terceira ordem.
Grau: O termo tem a derivada elevada ao quadrado, então o grau é 2.
Linearidade: A presença do termo torna a equação não linear.

Passo 5

d)

Ordem: A maior derivada é , de segunda ordem.
Grau: O termo tem a derivada elevada ao quadrado, então o grau é 2.
Linearidade: A presença do termo torna a equação não linear.

Passo 6

e)

Primeiro, vamos expressar como para facilitar a análise.
Ordem: A maior derivada é , de primeira ordem.
Grau: A equação contém uma raiz quadrada de , que não é um polinômio em relação a . Portanto, o grau não está definido para equações não polinomiais.
Linearidade: A presença da raiz quadrada faz com que a equação seja não linear.

Resposta

Classificações das equações:
a) Ordem: 1ª
Grau: 1
Linearidade: Linear
b) Ordem: 2ª
Grau: 1
Linearidade: Linear
c) Ordem: 3ª
Grau: 2
Linearidade: Não linear
d) Ordem: 2ª
Grau: 2
Linearidade: Não linear
e) Ordem: 1ª
Grau: Não definido
Linearidade: Não linear

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