Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação diferencial que está relacionada à primitiva dada, que é . Aqui, e são constantes importantes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e primitivas, e ver como elas se conectam para formar a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Uma primitiva de uma função é outra função cuja derivada é . Ou seja:
No nosso caso, a primitiva dada é . Para encontrar a equação diferencial, precisamos relacionar com suas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Derivando ambos os lados em relação a :
Aqui, usamos a regra básica da derivação onde a derivada de em relação a é simplesmente , já que é uma constante.

Passo 4

Agora, temos uma relação entre a derivada de e mesmo. Podemos escrever isso como uma equação diferencial:
Essa é a equação que relaciona a função com a sua derivada, utilizando as constantes e (no caso, não aparece diretamente, mas pode ser considerada como a constante de integração se quisermos generalizar a primitiva).

Resposta

A equação diferencial associada à primitiva é:

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Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
d)
Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde é uma solução conhecida da equação diferencial.
(2) .
Rpt.
Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de para dada, se a solução da equação homogênea associada for .