Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação diferencial que está relacionada à primitiva dada, que é
. Aqui,
e
são constantes importantes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e primitivas, e ver como elas se conectam para formar a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Uma primitiva de uma função
é outra função
cuja derivada é
. Ou seja:
No nosso caso, a primitiva dada é
. Para encontrar a equação diferencial, precisamos relacionar
com suas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Aqui, usamos a regra básica da derivação onde a derivada de
em relação a
é simplesmente
, já que
é uma constante.
Passo 4
Agora, temos uma relação entre a derivada de
e
mesmo. Podemos escrever isso como uma equação diferencial:
Essa é a equação que relaciona a função
com a sua derivada, utilizando as constantes
e
(no caso,
não aparece diretamente, mas pode ser considerada como a constante de integração se quisermos generalizar a primitiva).
Resposta
A equação diferencial associada à primitiva
é:
Exercícios relacionados
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
d)
d)
Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde
é uma solução conhecida da equação diferencial.
(2) .
Rpt.
(2)
Rpt.
Obter a equação diferencial associada com a primitiva dada, sendo A e B constantes essenciais.
Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.