Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
no intervalo de
a
. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos usar os conceitos de série de Fourier, que envolve calcular alguns coeficientes especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função
no intervalo
a
tem a seguinte forma:
No nosso caso,
, então a expressão fica:
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. Esse coeficiente é dado por:
Substituindo
:
Integrando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da integral de
:
No nosso caso,
e
, então:
Ao avaliar isso nos limites, percebemos que os termos com seno se anulam devido à simetria, e ficamos com:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Usando a fórmula da integral de
:
Com
e
:
Novamente, devido à simetria das funções seno e cosseno, ao avaliar nos limites, os termos se anulam e
.
Resposta
Portanto, a série de Fourier de
no intervalo
é: