Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
f) f(x) = e^x, -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função no intervalo de a . Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos usar os conceitos de série de Fourier, que envolve calcular alguns coeficientes especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função no intervalo a tem a seguinte forma:
No nosso caso, , então a expressão fica:

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente . Esse coeficiente é dado por:
Substituindo :
Integrando :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da integral de :
No nosso caso, e , então:
Ao avaliar isso nos limites, percebemos que os termos com seno se anulam devido à simetria, e ficamos com:
Como , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Usando a fórmula da integral de :
Com e :
Novamente, devido à simetria das funções seno e cosseno, ao avaliar nos limites, os termos se anulam e .

Resposta

Portanto, a série de Fourier de no intervalo é:

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