Mostrar que em cada uma das equações seguintes somente uma das duas constantes arbitrárias é essencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa mostrar que, nessa equação, só uma das constantes ou é essencial. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais onde analisamos constantes arbitrárias. Para resolver isso, vamos manipular a equação para ver como as constantes se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na matemática, quando temos duas constantes multiplicativas, uma pode ser combinada com a outra. Olha só a equação original:
Podemos reescrever o expoente utilizando propriedades dos expoentes. A propriedade nos permite separar os termos.

Passo 3

Aplicando essa propriedade, a equação fica:
Agora, podemos reorganizar os fatores. Como e são ambos constantes, podemos multiplicá-los juntos. Vamos chamar essa multiplicação de uma nova constante :
Então, substituindo na equação:

Passo 4

Agora, observamos que a equação simplificada tem apenas uma constante arbitrária . Isso mostra que a constante original não é essencial, pois ela foi incorporada na constante .

Resposta

Assim, demonstramos que na equação , apenas uma das constantes arbitrárias é essencial.

Exercícios relacionados

Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(6) .
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
f)
Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(4) .
Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli.
(1) ;
Rpt. .