Mostrar que em cada uma das equações seguintes somente uma das duas constantes arbitrárias é essencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa mostrar que, nessa equação, só uma das constantes
ou
é essencial. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais onde analisamos constantes arbitrárias. Para resolver isso, vamos manipular a equação para ver como as constantes se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na matemática, quando temos duas constantes multiplicativas, uma pode ser combinada com a outra. Olha só a equação original:
Podemos reescrever o expoente utilizando propriedades dos expoentes. A propriedade
nos permite separar os termos.
Passo 3
Aplicando essa propriedade, a equação fica:
Agora, podemos reorganizar os fatores. Como
e
são ambos constantes, podemos multiplicá-los juntos. Vamos chamar essa multiplicação de uma nova constante
:
Então, substituindo na equação:
Passo 4
Agora, observamos que a equação simplificada
tem apenas uma constante arbitrária
. Isso mostra que a constante
original não é essencial, pois ela foi incorporada na constante
.
Resposta
Assim, demonstramos que na equação
, apenas uma das constantes arbitrárias é essencial.
Exercícios relacionados
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(6) .
(6)
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
f)
f)
Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(4) .
(4)
Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli.
(1) ;
Rpt. .
(1)
Rpt.