Mil gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformados em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Determine a equação diferencial que exprime a razão de transformação depois de t minutos.
Passo 1
Vamos entender o problema: você tem 1000 gramas de açúcar de cana dissolvidos em água, e esse açúcar está sendo transformado em dextrose. A taxa dessa transformação depende de quanto açúcar ainda não foi transformado. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e proporcionalidade para montar a equação que descreve essa situação.
Passo 2
Vamos chamar de
a quantidade de açúcar que não foi transformada em dextrose no tempo
(medido em minutos). Inicialmente, quando
, temos
gramas.
Passo 3
A razão de transformação (a velocidade com que o açúcar está sendo transformado) é proporcional à quantidade de açúcar que ainda não foi transformada, ou seja, a proporcionalidade pode ser escrita como:
Isso significa que a taxa de mudança de
em relação ao tempo
depende diretamente de
.
Passo 4
Para transformar essa proporcionalidade em uma equação matemática, introduzimos uma constante de proporcionalidade
(onde
). Assim, podemos escrever:
O sinal negativo indica que a quantidade de açúcar não transformado está diminuindo ao longo do tempo.
Passo 5
Portanto, a equação diferencial que descreve a taxa de transformação do açúcar em dextrose é:
Resposta
A equação diferencial é:
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Calcule as integrais abaixo.
Calcule as integrais abaixo.
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
f)
f)
Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(6) .
(6)