Calcule as integrais abaixo.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição algébrica e integração de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Observe que podemos reescrever de uma maneira que facilite a integração. Vamos expressar como :
Isso nos permite separar a integral em duas partes mais simples.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira integral:
Sabemos que:
Aqui, , já que . Aplicando essa fórmula:

Passo 5

Segunda integral:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula:
Novamente, com :

Passo 6

Agora, voltamos à nossa expressão original com as duas integrais resolvidas:
Simplificando os termos:

Resposta

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Calcule as integrais abaixo.
Seja um conjunto ortogonal de funções em . Mostre que:
Mil gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformados em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Determine a equação diferencial que exprime a razão de transformação depois de t minutos.
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
f)