Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição algébrica e integração de funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Observe que podemos reescrever
de uma maneira que facilite a integração. Vamos expressar
como
:
Isso nos permite separar a integral em duas partes mais simples.
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Primeira integral:
Sabemos que:
Aqui,
, já que
. Aplicando essa fórmula:
Passo 5
Segunda integral:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula:
Novamente, com
:
Passo 6
Agora, voltamos à nossa expressão original com as duas integrais resolvidas:
Simplificando os termos:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo.
Seja
um conjunto ortogonal de funções em
. Mostre que:
Mil gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformados em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Determine a equação diferencial que exprime a razão de transformação depois de t minutos.
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
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