Calcule as integrais abaixo. integral x^2raiz64-x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição algébrica e integração de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2 = 64 - (64 - x^2) . Observe que podemos reescrever de uma maneira que facilite a integração. Vamos expressar como :
Isso nos permite separar a integral em duas partes mais simples.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral x^2raiz64 - x^2 , dx = integral 64 - (64 - x^2)raiz64 - x^2 , dx = integral 64raiz64 - x^2 , dx - integral raiz64 - x^2 , dx
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira integral: integral dxraiza^2 - x^2 = arcsin( xa ) + C
Sabemos que:
64 integral dxraiz64 - x^2 = 64 arcsin( x8 ) + C
Aqui, , já que . Aplicando essa fórmula:

Passo 5

Segunda integral: integral raiza^2 - x^2 , dx = x2 raiza^2 - x^2 + a^22 arcsin( xa ) + C
Para resolver essa integral, usamos a fórmula:
integral raiz64 - x^2 , dx = x2 raiz64 - x^2 + 32 arcsin( x8 ) + C
Novamente, com :

Passo 6

Agora, voltamos à nossa expressão original com as duas integrais resolvidas:
64 arcsin( x8 ) - ( x2 raiz64 - x^2 + 32 arcsin( x8 ) ) + C
Simplificando os termos:
64 arcsin( x8 ) - x2 raiz64 - x^2 - 32 arcsin( x8 ) + C
= 32 arcsin( x8 ) - x2 raiz64 - x^2 + C

Resposta

integral x^2raiz64 - x^2 , dx = 32 arcsin( x8 ) - x2 raiz64 - x^2 + C

Exercícios relacionados