Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
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.
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de equações lineares:
. Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é determinar o fator integrante
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 4
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes:
Aplicando a fórmula
:
Passo 6
Substituindo a integral de volta na equação:
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
e
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Ou simplificando:
Esta solução satisfaz a equação original e a condição inicial
.
Exercícios relacionados
Ache a série de Fourier de f no intervalo dado.
f)
f)
Mil gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformados em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada. Determine a equação diferencial que exprime a razão de transformação depois de t minutos.
Mostrar que em cada uma das equações seguintes somente uma das duas constantes arbitrárias é essencial.
Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
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