Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
(6) x y' + 2 y = sen(x) ; y(pi/2) = 1.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de equações lineares: . Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é determinar o fator integrante , que é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :

Passo 4

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes:
Aplicando a fórmula :

Passo 6

Substituindo a integral de volta na equação:
Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Sabemos que e , então:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Ou simplificando:
Esta solução satisfaz a equação original e a condição inicial .

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